ЕГЭ ФИПИ-2015, задача 16 (варианты 16 и 17)

Вариант 16   

Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 описана сфера. На ребре СС1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 15° с плоскостью АВС.

а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.

ege15-var16-16Решение.

Продолжим ВМ до пересечения с поверхностью шара и получим точку К.  Плоскость сечения есть круг, описанный около прямоугольного ∆АВК (∠В=900 по ТТП, так как АВ перпендикулярно проекции ВС наклонной ВК и проходит через основание В этой наклонной).

Длина линии пересечения плоскости АВМ и сферы – это длина окрестности, описанной около прямоугольника ∆АВК и равна С=2πR, где 2R=AK. Тогда C=π·AK. Точка К принадлежит плоскости грани BB1C1С. Это точка окружности, описанной около BB1C1С. Диаметр этой окружности BC1. Таким образом, ∆BКC1 – прямоугольный. Так как ∠КВС=150 , то ∠C1BК=450-150=300. BK=BC1·cos300. Если ребро куба равно 2, то

2015-05-30_090045

Из прямоугольного ∆АВК по теореме Пифагора:

2015-05-30_090135

Искомая длина линии пересечения:

2015-05-30_090157

Вариант 17

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 2.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и D1.

б) Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, С и D1.

ege15-var17-16 Решение.

Проводим АС и CD1. Секущая плоскость пересечет параллельные грани по параллельным прямым, поэтому проведем D1F1 || AC, и осталось провести AF1. Четырехугольник ACD1F1 – параллелограмм, так как стороны его попарно параллельны. Основание призмы – правильный шестиугольник, внутренние углы которого равны 120°. Таким образом, в равнобедренном треугольнике АВС углы равны 120°, 30° и 30°. Получается, что малая диагональ правильного шестиугольника образует с его стороной прямой угол, т.е. ∠CAF=90°. Прямая АС, проведенная через основание наклонной AF1,  перпендикулярно ее проекции AF, будет перпендикулярна и самой наклонной  AF1 – теорема о трех перпендикулярах (ТТП). Получается, что параллелограмм ACD1F1 является прямоугольником. Площадь этого прямоугольника равна произведению его длины на ширину. S = AC AF1. Из ∆АВС по теореме косинусов находим:

2015-05-30_090327

Навигация

Следующая статья:

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост