ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (варианты № 31 и № 32)
ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 31)
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
((а -1)х2 + 3х)2-2((а-1)х2 + 3х) + 1-а2 = 0
имеет ровно два решения.
Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений, преобразуем данное выражение к виду:
((а-1)х2 + 3х-1)2-а2 = 0. Применим формулу разности квадратов двух выражений и разложим левую часть на множители:
((а-1)х2 + 3х-1-а)((а-1)х2 + 3х-1 + а) = 0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом значении не теряют смысла.
(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 или (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0.
1) (а-1)х2 + 3х-1-а = 0. Найдём дискриминант.
D = 32-4 ∙ (a-1) ∙ (-1-a) = 9 + 4 ∙ (a-1) ∙ (1 + a) = 9 + 4 ∙ (a2-1) = 9 + 4a2-4 = 5 + 4a2 > 0 при любом значении а, следовательно, уравнение
(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 имеет два действительных корня.
2) (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0. Найдём дискриминант.
D = 32-4 ∙ (a-1) ∙ (-1 + a) = 9 + 4 ∙ (a-1)2 = 9-4 ∙ (a2-2а + 1) = 9-4a2 + 8а-4 = -4а2 + 8а + 5. Если и этот дискриминант будет больше нуля, то мы получим к уже имеющимся двум действительным корням ещё два. Но если этот дискриминант будет меньше нуля, то новых корней не будет. Найдём значения а, при которых дискриминант был меньше нуля. Решим неравенство:
-4а2 + 8а + 5 < 0 → 4а2-8а-5 > 0. Решаем уравнение 4а2-8а-5 = 0. Второй коэффициент – чётный, поэтому, находим
D1 = — ac = 42- 4 ∙ (-5) = 16 + 20 = 36 = 62 > 0; два действительных корня.
Неравенство 4а2-8а-5 > 0 будет верным при а ∈ (-∞ ; а1) (a2; +∞ ), т.е. при
а ∈ (-∞ ; -0,5) (2,5; +∞ ). Итак, при этом условии уравнение (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0 не будет иметь действительных корней, и данное в условии уравнение будет иметь ровно два решения.
Ответ: а∈ (- ∞; -0,5) (2,5; +∞ ).
ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 32)
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду:
Приведём левую часть к общему знаменателю.
Так как -1 ≤ cos4x ≤ 1, то знаменатель дроби при любом значении а положителен, поэтому равенство будет верным, если числитель окажется меньшим нуля. Решаем неравенство:
a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + cos4x-a2 < 0. Применим формулу: 1 + cos2α = 2cos2α, тогда cos4x = 2cos22х-1. Получаем неравенство:
a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + 2cos22х-1-a2 < 0;
2cos22x-(a2-2a)cos2x-(а2-а + 2) < 0. Это квадратное уравнение относительно переменной cos2x. Сделаем замену: cos2x = z. Получаем:
2z2-(a2-2a)z-(а2-а + 2) < 0. ( * )
Проиллюстрируем последнее утверждение – рассмотрим график функции y = cos2x на промежутке
Неравенство ( * ) должно выполняться и при z =-1 и при z = 1. Искомыми будут являться те значения параметра а, при которых неравенство ( * ) будет выполнено.
1) z =-1.
2 ∙ (-1)2-(a2-2a) ∙ (-1)-(а2 — а + 2) < 0;
2 + а2-2а-а2 + а-2 < 0 → -а < 0 → а > 0.
2) z = 1.
2 ∙ 12-(a2-2a) ∙ 1-(а2-а + 2) < 0;
2-а2 + 2а-а2 + а-2 < 0 → -2а2 + 3a < 0 → 2а2-3a > 0 → a(2a-3) > 0.
Общее решение: а ∈ (1,5; + ∞). Ответ: а > 1,5.
