ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 35)

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые.

а) Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С1.

б) Найдите площадь этого сечения.

2018-03-14_101704Решение.

Итак, что мы имеем? Из прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с измерениями: AB=3, AD=4 и AA1=4  вырезали прямоугольный параллелепипед A2B2C2D2A3B3C3D3  с измерениями: A2B2=1, A2D2=2 и A2A3=4.

Затем, оставшийся многогранник пересекли плоскостью АВС1, которую мы должны построить и площадь которой требуется найти.

а) Так как плоскости оснований параллельны, то и линии пересечения этих оснований плоскостью сечения будут параллельны, т.е. C1D1 || AB.

Сечение большего параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, В и С1 - это прямоугольник ABC1D1. Проведем диагонали AC1 и BD1  этого прямоугольника, которые будут пересекаться в точке О, они же являются и диагоналями большего прямоугольного параллелепипеда. Заметим, что точка О будет центром симметрии этого параллелепипеда. Так как AD=4, а A2D2=2, то точка О будет лежать в плоскости  грани C2C3D3D2  меньшего параллелепипеда. Секущая плоскость пересечет эту грань по прямой, проходящей через точку О и эта прямая будет параллельна АВ. Проводим через точку О отрезок EF || AB.

Соединяем точки A2 и E, а также точки B2 и F.

A2E и B2F — это линии пересечения плоскости АВС1 с боковыми гранями меньшего параллелепипеда.

б) Таким образом, плоскость сечения  данного многогранника —  AD1C1BB2FEA2. Заметим, что точки E и F являются серединами боковых ребер меньшего параллелепипеда, и искомая площадь равна разности площадей большого прямоугольника ABC1D1  и малого прямоугольника  A2B2FE.

2018-03-14_101755Площадь большого прямоугольника ABC1D1  равна АВ АD1,

2018-03-14_101732

 

 

— гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника AA1D1.

Тогда площадь большого прямоугольника

 

2018-03-14_101836

Навигация
Сайт размещается на хостинге Спринтхост