ЕГЭ-2015 ФИПИ, вариант 01(11-15)

Вариант 1-11.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+11t-5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 м? Ответ: 1,8.

Решение. Найдем время t, при котором h(t)≥3. Получаем: 1+11t-5t2≥3 или 5t2-11t+2≤0. Корни квадратного уравнения t1=0,2; t2=2. Неравенство выполняется на промежутке [0,2; 2]. Общее время с 0,2 секунд до 2 секунд составит 2-0,2=1,8 секунд.

Вариант 1-12.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что ВВ1=16, А1В1=2, A1D1=8. Найдите длину диагонали АС1.

Решение. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его линейных размеров: d2=a2+b2+c2.

ege15-1-12ss

Вариант 1-13.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 483 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 2 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 46 ч после отплытия из него. Ответ дайте в километрах в час. Ответ: 1.

ege15-1-13ss

Вариант 1-14.

Найдите точку максимума функции у=х3+12х2+13. Ответ: -8.

Находим производную: y’=3x2+24x=3x(x+8). Критические точки х1=-8, х2=0.

ege15-1-14ss

Смотреть видео.

Вариант 1-15.

Решите уравнение: а) 3sin2x-4cosx+3sinx-2=0.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [π/2 ; 3π/2 ].

Применим формулу: sin2α = 2sinαcosα

3∙2sinxcosx – 4cosx + 3sinx – 2 = 0;

(6sinxcosx – 4cosx) + (3sinx – 2) = 0;

2cosx(3sinx – 2) + (3sinx – 2) = 2;

(3sinx – 2)(2cosx + 1) = 0 ⇒ 3sinx – 2 = 0  или  2cosx + 1 = 0.

1) 3sinx – 2 = 0;                                2) 2cosx + 1 = 0;

Используем формулы:

sint = a ⇒ t = (-1)n ∙arcsin a + πn, n ∈ Z  и cost = -a ⇒ t = ± (π – arccos a) + 2πk, k ∈ Z. Тогда:

ege15-1-15s

Задание а) выполнено. Приступим к выполнению задания б). Будем подбирать такие целые значения n и k, чтобы значение х принадлежало указанному в задании б) промежутку.

ege15-1-15ss

Смотреть видео.

ЕГЭ-2015 ФИПИ, вариант 01(1-10)

Вариант 1-1.

В доме, в котором живет Федя, один подъезд. На каждом этаже по одиннадцать квартир. Федя живет в квартире 62. На каком этаже живет Федя?

Решение.

1-й этаж: 1, 2, 3, … ,  11 квартиры. Номера квартир, находящихся ровно над этими на 2-м этаже: 12, 13, 14, … , 22. На 3-ем этаже: 23, 24, 25, … , 33. На 4-м этаже: 34, 35, 36, … , 44. На 5-м этаже: 45, 46, 47, … , 55. На 6-м этаже: 56, 57, 58, … , 62, … , 66. Ответ: 6.

Вариант 1-2.

На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место  — Казахстан. Какое место занимала Польша? Ответ: 8.

ege15-1-2ss

Вариант 1-3.

В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 рублей, он получает скидку на следующую покупку в размере 10% от уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель Б. хочет приобрести пиджак ценой 9450 рублей, футболку ценой 800 рублей и галстук ценой 900 рублей. В каком случае Б. заплатит за покупку меньше всего: 1) Б. купит все три товара сразу. 2) Б. купит сначала пиджак и футболку, а потом галстук со скидкой. 3) Б, купит сначала пиджак и галстук, а потом футболку со скидкой. В ответе запишите, сколько рублей заплатит Б. за покупку в этом случае.

Решение. Выбираем 2) вариант. Купив пиджак и галстук (9450+800=10250 рублей), Б. получит 10% — ную скидку на покупку галстука который дороже футболки. Он купит галстук не за 900 рублей, а за 900-90=810 рублей. Тогда вся покупка обойдется в сумму: 10250+810=11060 рублей. Ответ: 11060.

Вариант 1-4.

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 1), (10; 1), (8; 7), (5; 7). Ответ: 36.

ege15-1-4ss

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1-5.

На экзамене 60 билетов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение. Пусть А – событие, которое заключается в том, что Андрею попадется выученный билет. Искомая вероятность p(A) = m:n, где m = 57 (количество благоприятствующих событию исходов),  n = 60 (количество всех возможных исходов). Тогда  p(A) = 57:60 = 0,95. Ответ: 0,95.

Вариант 1-6.

Найдите корень уравнения log5(6+x)=2.

Решение. На основании определения логарифма: 6+х = 52. Тогда х=25-6; х=19. Ответ: 19.

Вариант 1-7.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 100о, угол CAD равен 64о. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Ответ: 36.

Решение. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

ege15-1-7ss

Вариант 1-8.

На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите среди точек х1, х2, х3, х4, х5, х6 и х7 те точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе запишите количество найденных точек. Ответ: 5.

Решение. Производная функции отрицательна на промежутках убывания функции. Смотрим график и считаем точки на промежутках убывания функции.

ege15-1-8ss

Вариант 1-9.

Шар, объем которого равен 15π, вписан в куб. Найдите объем куба. Ответ: 90.

ege15-1-9ss

Вариант 1-10.

Найдите значение выражения. Ответ: 200.

ege15-1-10ss

Смотрите видео.

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01(1-8)-алгебра

Вариант 1. Модуль «Алгебра».

1. Найдите значение выражения 0,007 · 70 · 700.

Чтобы перемножить десятичную дробь на натуральное число нужно умножать, не обращая внимания на запятую, а в полученном результате отделить справа запятой столько знаков, сколько их стоит после запятой в десятичной дроби. Получается, что нужно умножить 7 на 70 и на 700, а затем отделить запятой 3 цифры справа. Понимаем, что просто «уйдут» 3 нуля, и просто находим 7 · 7 · 7 = 343.

2. На координатной прямой отмечены числа a и b.

oge15-01-2

Какое из следующих утверждений является неверным? 1) (a-b)·a>0; 2) a-b<0; 3) ab2<0; 4) ab>0.

Итак, а – отрицательное число, b – положительное число.  Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.

Если верный ответ: 4) утверждение является неверным, для вас не очевиден, то возьмите числовые значения а и b, да подставьте в каждое из 4-х утверждений.

2015-03-11_202838

4. Решите уравнение (х+10)2=(2-х)2.

Можно, конечно, раскрыть скобки, упростить полученное выражение…, но лучше рассуждать так: если равны квадраты двучленов, то это возможно в случае: 1) х+10=2-х или 2) х+10=х-2. Так как во втором случае получается неверное равенство 10=-2, то решаем 1) х+10=2-х. Получаем: 2х=-8, отсюда х=-4.

5. На рисунке изображены графики вида y=kx+b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.

КОФФИЦИЕНТЫ. А) k>0, b<0; Б) k<0, b>0; В) k<0, b<0.

ГРАФИКИ.

oge15-01-5

k – угловой коэффициент прямой. Если k>0, то прямая образует с положительным направлением оси Ох острый угол; если k<0, то прямая образует с положительным направлением оси Ох тупой угол.

b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Случай А) k>0, b<0 иллюстрирует 4-й график; случай Б) k<0, b>0 — 1-й график; случай В) k<0, b<0 — 2-й график. Ответ: 412.

6. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен -3, b1=-6. Найдите b5.

Используем формулу общего члена геометрической прогрессии:

bn=b1 qn-1. Тогда  b5 = b1 q4 = -6 (-3)4 = -6 81= -486.

2015-03-11_203421

при а= -60, х=12. Упростим данное выражение:

2015-03-11_203631

Подставляем данные: а : х = -60 : 12= -5.

8. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) х2+6х-51>0; 2) x2+6×-51<0; 3) x2+6x+51>0; 4) x2+6x+51<0.

Каждый из графиков: у=х2+6х-51 и у=x2+6x+51 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Следовательно, ищем параболу, которая не пересечет ось Ох (дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше нуля). Это парабола у=x2+6x+51 (D=b2-4ac=62-451=36-204<0) Все точки этой параболы лежат выше оси Ох, т.е. при любом значении х значения выражения  x2+6x+51 положительны. Так как мы ищем неравенство, которое не имеет решений, то решений не имеет неравенство 4) x2+6x+51<0.

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост