ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (24, 25, 26)-геометрия

Часть 2. Модуль «Геометрия».

24. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 13° и 17°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 6.

15-01-24Решение. Пусть в Δ АВС ∠АВС = 13° и ∠АСВ = 17°, тогда третий угол — ∠ВАС = 180°-(13°+17°) = 150°. Около Δ АВС описана окружность с центром в точке О и радиусом R=ОВ=6. Требуется найти сторону ВС. Вспомним теорему синусов. Стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

2015-03-27_102214

Нам понадобится следствие к этой теореме:

и каждое из отношений равно диаметру окружности, описанной около данного треугольника, т.е.

2015-03-27_102243

Отсюда BC = 2R ∙ sin150° = 2 ∙ 6 ∙ sin(180°-30°) = 12 ∙ sin30°=12 ∙ 0,5 = 6. Ответ: 6.

25. Внутри параллелограмма ABCD отметили точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников АВМ и CDM равна площади треугольника BCD.

15-01-25Решение. Проведем через точку М общий перпендикуляр KN параллельных сторон АВ и СD. Заметим, что МК является высотой треугольника АВМ,  MN – высотой треугольника CDM, а KN можно считать высотой треугольника BCD, так как длина перпендикуляра, проведенного из точки В к стороне CD, будет равна KN.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

2015-03-27_102305

Сложим площади треугольников АВМ и CDM, и в результате получим площадь треугольника  BCD, что и требовалось доказать. На самом деле, так как AB=CD (противолежащие стороны параллелограмма равны), то:

2015-03-27_102335

26. Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.

Решение. Замечаем, что 23° + 67° = 90°, а это означает, что продолжения боковых сторон трапеции, пересекаясь, образуют прямой угол.

15-01-26Итак, в трапеции ABCD ∠BAC=23°, ∠ADC=67°,

M – середина АВ, N – середина CD и длина MN = 15.

E – середина ВС,  F – середина AD и длина EF = 8. Пусть отрезки MN и EF пересекаются в точке О, а продолжения боковых сторон трапеции АВ и CD – в точке К.

Требуется найти основания трапеции AD и BC. Так как треугольник MKN является прямоугольным, то его медиана KO равна половине гипотенузы MN, т.е. KO=MN:2=15:2=7,5. Так как MN – средняя линия трапеции, то она делит пополам и отрезок EF, поэтому, EO=EF:2=8:2=4. Отрезок KE=KO-EO=7,5-4=3,5, тогда KF=EF+KE=8+3,5=11,5. Так как треугольник АКD является прямоугольным, то KF – медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы  AD. Так как KF =11,5, то AD=2KF=211,5=23. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, следовательно, AD+BC=2MN=215=30, и ВС=30-AD=30-23=7. Ответ: основания трапеции AD=23, BC=7.

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (21, 22, 23)-алгебра

Часть 2. Модуль «Алгебра».

21. Найдите значение выражения

2015-03-24_112531

Решение. Замечаем, что к числителю дроби можно применить формулу разности квадратов двух выражений:

a2-b2 =(a-b)(a+b). Действительно:

2015-03-24_112625

Подставляем данное значение суммы радикалов и получаем 4 3 = 12. Ответ: 12.

22. Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 3 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,6 км/ч, а другой – со скоростью 3,9 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

15-01-22Решение. Пусть их встреча произойдет на расстоянии х от точки отправления. Второй человек прошел 3 км до опушки леса. Затем он пошёл обратно и встретился с первым в х километрах от точки отправления. Это значит, что второй прошел еще (3-х) км, т.е всего второй человек прошел 3+3-х=6-х километров. Так как время равно пути, деленному на скорость (t = S : v), то второй человек, скорость которого 3,9 км/ч, прошел до встречи весь свой путь длиной (6-х) километров за

2015-03-24_112654

Но ведь оба путника вышли одновременно, значит, и первый (он прошёл х км) затратил на свой путь до встречи

2015-03-24_112654

А так как первый человек шёл со скоростью 2,6 км/ч, то по формуле S=v t выразим пройденное им расстояние:

2015-03-24_112819

Умножим обе части равенства на 3:

3х = 2 (6-х). Раскрываем скобки в правой части равенства:  3х = 12-2х. Преобразуем равенство к виду: 3х+2х=12, тогда 5х=12. Отсюда х=12 : 5; х=2,4. На расстоянии 2,4 км от точки отправления произойдет встреча. Ответ: 2,4.

23. Постройте график функции

2015-03-24_112845

и определите, при каких значениях  m прямая у = m  имеет с графиком ровно две общие точки.

15-01-23Решение. Парабола у = -х2-4х-1 имеет вершину в точке О’(m; n), где m = -b/(2a); n=y(m).

m = -b : (2a) = 4 : (-2) = -2; n = y(m) = y(-2) = -(-2)2 -4 (-2)-1= -4+8-1=3. Итак, вершина параболы находится в точке O’(-2; 3). Ветви параболы направлены вниз. График получается из графика функции у = -х2 параллельным переносом на 2 единичных отрезка влево и на 3 единичных отрезка вверх и согласно условию расположен правее прямой х=-3. Левее этой прямой будет лежать график прямой у = -х-1, который построим по двум точкам, взяв любые значения переменной х и вычислив соответствующие им значения функции у. Таким образом график данной функции представляет собой объединение прямой и части параболы. Ответим на вопрос: при каких значениях  m прямая у = m  имеет с графиком ровно две общие точки. Так как прямая у = m  проходит параллельно оси Ох, то мы должны расположить ее так, чтобы она пересекла наш график ровно в двух точках. Очевидно, что искомые прямые – это у=2 и у=3. Ответ: 2; 3.

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (14-20)-реальная математика

14. При классификации яиц их относят к той или иной категории в зависимости от их массы:

Третья категория (3) – от 35 до 44,9 г

Вторая категория (2) – от 45 до 54,9 г

Первая категория (1) – от 55 до 64,9 г

Отборное яйцо (О) – от 65 до 74,9 г

Высшая категория (В) – 75 г и более. К какой категории относится яйцо массой 63,1 г?

Понятно, что 63,1 г будет относиться к первой категории, а первая категория в представленных ответах записана под номером 2). Ответ: 2.

15. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры ы градусах Цельсия. Сколько часов в первой половине дня температура превышала 24°С?

15-01-15

Первой половиной дня считается время до полудня, т.е. до 12 часов дня. С 9 часов утра и до 12 часов дня температура была выше 24°С. Таким образом всего 3 часа в первой половине дня температура превышала 24°С. Ответ: 3.

16. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3 : 2. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 56 млн руб. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Итак, прибыль составляет 56 миллионов рублей, из которых 3 части этой прибыли получает государство и 2 части – частные акционеры. Если одну часть обозначить через х, то получаем равенство:

3х + 2х = 56. Отсюда 5х=56. Делим обе части равенства на коэффициент при х, т.е. на 5 и получаем

х=11,2. Частные акционеры получат две такие части, умножаем 11,2 на 2 и получаем 22,4 млн руб.

Ответ: 22400000.

17. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 9 м и 10 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?

Площадь одной дощечки Sд = ab =10 см 20 см = 200 см2. Найдем и площадь пола в квадратных сантиметрах.

Sп = 9 м 10 м = 900 см 1000 см = 900000 см2. Разделим площадь пола на площадь одной дощечки и узнаем, сколько же потребуется этих дощечек.

900000 : 200 = 9000 : 2 = 4500 дощечек. Ответ: 4500.

18. В городе из учебных заведений имеются школы, колледжи, училища и институты. Данные представлены на круговой диаграмме. Какое из утверждений относительно количества учебных заведений разных видов верно, если всего в городе 45 учебных заведений?

1) В городе более 30 школ.

2) В городе более трети всех учебных заведений – институты.

3) В городе школ, колледжей и училищ более 15/16 всех учебных заведений.

4) В городе примерно четверть всех учебных заведений – училища.

15-01-18В круговой диаграмме центральный угол каждого сектора отражает количество рассматриваемых величин. В данном случае 360° соответствуют 45 учебным заведениям. Получается, что одно учебное заведение можно представить в виде кругового сектора, центральный угол которого равен 360° : 45 = 8°.

Читаем утверждение 1) В городе более 30 школ. Если это верно, то белый сектор должен соответствовать центральному углу более 8° ∙ 30 = 240°. Но весь закрашенный сектор (колледжи, училища и институты) имеет угол более 150° (измерьте транспортиром), следовательно, на школы приходится самое большее 360° — 150° = 210° < 240°. Таким образом утверждение 1) неверно.

Утверждение 2) В городе более трети всех учебных заведений – институты также неверно, так как треть учебных заведений должна была бы соответствовать трети круга, т.е. 360° : 3 = 120° — это тупой угол, а на диаграмме сектор институтов соответствует центральному углу 50°. Таким, образом, утверждение 2) также неверно.

Утверждение 3) В городе школ, колледжей и училищ более 15/16 всех учебных заведений говорит о том, что институтов 1 – 15/16 = 1/16 части всех учебных заведений. В круге это одна шестнадцатая часть от 360°, т.е. 22,5° а у нас центральный угол сектора институтов 50°, т.е более 1/16 части всех учебных заведений. А это означает, что школы, колледжи и училища не могут содержать более 15/16 всех учебных заведений, т.е. что утверждение 3) неверно.

Следовательно, верным будет утверждение 4) В городе примерно четверть всех учебных заведений – училища. На самом деле: центральный угол сектора училищ содержит 83°, а это близко к четверти круга – к  90°. Ответ: 4.

19. На тарелке  15 пирожков: 3 с мясом, 9 с капустой и 3 с вишней. Рома наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Пусть А – событие, состоящее в том, что выбранный Ромой пирожок окажется с вишней.

Тогда число благоприятствующих событию А исходов m = 3. На самом деле, ведь всего 3 пирожка с вишней.

Число всех возможных исходов n = 15. Вероятность наступления события А:

2015-03-23_085940

 Ответ: 0,2.

20. Закон всемирного тяготения можно записать в виде:

2015-03-23_090038

где F – сила притяжения между телами (в ньютонах), m1 и m2 – массы тел (в килограммах),  r – расстояние между центрами масс тел (в метрах), а γ – гравитационная постоянная, равная 6,67 10-11 Н м2/кг2. Пользуясь этой формулой, найдите массу тела m1 (в килограммах), если  F = 33,35Н, m2 = 5 108 кг, а r = 2 м.

Просто подставим данные значения величин в формулу.

2015-03-23_090114

Разделим обе части равенства на 6,67 и запишем произведение 10-11 108 в виде 10-3. Получим:

2015-03-23_090143

Получаем: 4 = m1 10-3, отсюда m1 = 4 : 10-3 = 4 103 = 4000.  Ответ: 4000.

Как распечатать формулы, чтобы получилась книжечка

7-11Дорогой друг, примите мои рекомендации по распечатке формул. Итак, вы скачали архив. Он малюсенький, поэтому, просто кликнув 2 раза на папку с материалами, вы сразу получаете pdf файл (или открываете папку с сохраненным pdf файлом). Нажимаем Файл→Печать. Должна быть видна (галочка стоит) готовность вашего принтера к работе. Нажимаем Настройка→Функции. Указываете параметры цвета по своему усмотрению (не принципиально), Страниц на листе — выбираете 2 стр на листе.

Здесь же Ярлыки печати. Выбираем: По умолчанию.

Здесь же Дополнительно. Если имеется хоть одна галочка в любой из 2-х клеток — убираем. ОК. Оказываемся опять в меню Печать. Выбираем: Страницы и через запятую (без пробела) указываем 16,1. Нажимаем кнопку печать. Распечаталось, не трогаем лист, только поправляем его слегка, для следующей печати. Нажимаем: Файл-Печать-Страницы-2,15-Печать. Вот один лист А4 готов. Вставляем в принтер новый лист и печатаем страницы 14,3. Слегка поправив, на этом же листе (нажимаем: Файл-Печать-Страницы-4,13-Печать).Готово. Далее на третьем листе А4 напечатаем 12,5 и 6,11. И, наконец, на последнем листе распечатаем страницы 10,7 и 8,9. Надеюсь, все получилось! 

И вот еще что!

Если вы — любитель маленьких справочников, то получите инструкцию по распечатке моего сборника формул в уменьшенном формате: по 4 страницы на листе А4.

Итак, вы открыли файл .pdf с «Основными формулами математики 7-11″. Нажимаете Файл→Печать. Нажимаем Настройка→Функции. Указываете параметры цвета по своему усмотрению (не принципиально), Страниц на листе — выбираете 4 стр на листе.

Здесь же Ярлыки печати. Выбираем: По умолчанию.

Здесь же Дополнительно. Если имеется хоть одна галочка в любой из 2-х клеток — убираем. Нажимаем ОК. Оказываемся опять в меню Печать. Выбираем: Страницы и через запятую (без пробелов!) указываем 16,1,14,3. Нажимаем кнопку Печать. Распечаталось, поворачиваем лист на 180º (текст вверху, т. е. нам виден). Опять Файл→Печать→Страницы и вводим через запятую без пробелов 2,15,4,13. Нажимаем кнопку Печать. Вот первый  лист А4 готов. Вставляем в принтер новый лист. Файл→Печать→Страницы и вводим: 10,7,12,5. Нажимаем кнопку Печать. Распечатанный лист поворачиваем на 180º (напечатанное вверху) и Файл→Печать→Страницы, вводим без пробелов через запятую: 8,9,6,11. Печать. Получили второй лист А4. Теперь аккуратно разрежьте каждый из двух листов А4 поперек, подровняйте и сверните в книжечку! 

Еще раз ссылка на скачивание формул. Уверена, что у вас все получится! Учите формулы поэтапно: скажем, сегодня с 1-ой по 23-ю и т.д. Помните: ЗНАНИЕ — СИЛА! Дорогу осилит идущий!

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (9-13)-геометрия

Модуль «Геометрия».

9. В треугольнике АВС угол С равен 90°,

15-01-9

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению катета к косинусу прилежащего угла, т.е. AB=AC : cosA.

Косинус угла А найдем, используя основное тригонометрическое тождество: sin2α+cos2α=1. Тогда

2015-03-16_062742

10. В треугольнике АВС угол С равен 90°,15-01-10

2015-03-16_061545

Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Гипотенузу найдем по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: АВ2=АС2+ВС2.

АВ2 = 82 + 82 15 = 82 (1 + 15) = 82 16. Тогда АВ = 8 4 = 32. Искомый радиус ОА равен половине АВ. Получаем ОА = 16.

11. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

15-01-11Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований трапеции на её высоту. Все нужные величины нам известны: нижнее основание равно 9+4=13; верхнее основание равно 20, высота трапеции равна 12.  Находим искомую площадь трапеции.

 

 

12. На клетчатой бумаге изображён угол. Найдите его градусную меру.

15-01-12Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. По клеточкам видно, что дуга, на которую опирается угол α составляет одну третью часть полуокружности, т.е. 60° (третья часть от 180°). Следовательно, угол α=30°.

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Через любую точку проходит не менее одной прямой. Да, это так (смотрите рисунок: через точку А можно провести сколько угодно прямых).

2) Сумма смежных углов равна 90°. Ну, конечно, нет – сумма смежных углов равна 180° (смотрите рисунок: углы 1 и 2 –смежные).

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. Это верно на основании признака параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых a и b секущей соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны. (смотрите рисунок).

Итак, верны утверждения 1) и 3). Ответ: 13.

15-01-13

ЕГЭ-2015 ФИПИ, вариант 01(19-21)

Вариант 1-19.
Максим хочет взять в кредит 1,5 млн. рублей. Погашение кредита происходит два раза в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей? Ответ: 6.
Решение. 10% годовых начисляют на оставшуюся сумму долга.

Чтобы найти проценты от числа проценты обратим в десятичную дробь и умножим число на полученную дробь. Находим 110% от 1500000 рублей:

1) 110%=1,1; 2) 1500000·1,1=1650000. Итак:

ege15-1-19s

Смотрите видео.

Вариант 1-20.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение f(x)=|2a+5|x имеет 6 решений, где f – четная периодическая функция с периодом Т=2, определённая на всей числовой прямой, причём f(x)=ax2, если 0≤x≤1.
Графиком функции f(x)=|2a+5|x является прямая, образующая острый угол с положительным направлением оси Ох, так как угловой коэффициент этой прямой k=|2a+5|>0 при любом значении а. А график функции f(x)=axпредставляет собой параболу, ветви которой могут быть направлены вверх при a>0 или вниз при a<0. Так как функция периодическая, то у нас получится совокупность парабол. Эти параболы надо пересечь прямой так, чтобы в пересечении получилось 6 точек. Для того, чтобы найти все значения параметра а мы возьмем очевидные координаты точки пересечения графиков и подставим их в уравнение прямой. В 1 случае это будет точка (5; а), во 2 случае точка (-5; а).

ege15-1-20s

Смотрите видео.

Вариант 1-21.
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел an.  В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение а3.  Ответ: 3.

У нас должна получиться дробь: 0,а1а2а3а4… Самое меньшее значение а3 равно 3, т.е. получается дробь 0,123… Что же это за рациональное число? Рациональными называют числа, которые можно записать в виде дроби m/n (m, деленное на n), где m – целое, n – натуральное.

2015-03-04_201121

Это рациональное число представим в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель в столбик (на калькуляторе вы не получите бесконечную периодическую дробь, да не разрешают пользоваться калькуляторами на экзаменах!)

2015-03-04_201324

Убедимся в том, что эта дробь удовлетворяет нашим условиям, а именно – после запятой выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел. Действительно, получается дробь: 0,123456790123456790123456790… . Члены возрастающей последовательности: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 90; 123; 456; 790; 1234; 56790; и т.д. Итак, наименьшее возможное значение а3 = 3.

Смотрите видео.

ЕГЭ-2015 ФИПИ, вариант 01(16-18)

Вариант 1-16.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что SM=6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, С и М. б) Найдите расстояние от вершины до плоскости ВСМ.

ege15-1-16s

Решение. Основанием нашей пирамиды служит квадрат ABCD со стороной 6, вершина S проектируется в центр квадрата – точку О, гранями являются равные равнобедренные треугольники с основаниями 6 и боковыми сторонами 9.

а) Построим сечение ВСМ. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Секущая плоскость пересечет основание пирамиды по прямой ВС, грань SAB — по прямой ВМ (см. рис 1). Прямая пересечения секущей плоскости с гранью SAD пройдет через точку М. Как? Параллельно AD. Почему? Если бы прямая MN была не параллельна AD, то она должна была бы пересекать AD в точке, принадлежащей прямой ВC (ведь все точки пересечения секущей плоскости с плоскостью основания лежат на прямой ВС), но это невозможно, ведь AD II BC. Проводим MN II AD и соединяем точку N с точкой С. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, С и М построено и представляет собой равнобедренную трапецию BMNC c основаниями BC и MN.

б) Найдем расстояние от вершины  S до плоскости ВСМ. Выполним построения: проведем EF II AB (заметим, что Е – середина AD, F — середина BC). Соединим точки E и F c вершиной S. Плоскость SEF пересечет трапецию BMNC по прямой KF, которая является осью симметрии трапеции (рис. 2). Расстоянием от точки S до плоскости сечения будет служить высота треугольника SKF, проведенная к стороне KF. Построение этого перпендикуляра будет зависеть от величины угла SKF (обозначим его через α). Если угол α — острый, то высота треугольника SKF будет лежать внутри треугольника. Если же угол α – тупой, то вне треугольника. С помощью теоремы косинусов определим косинус угла α в треугольнике SKF.

2015-03-04_121120

SF – высота и медиана равнобедренного Δ SBC с боковой стороной SB=9 и основанием ВС=6. SF= SB- BF= 8 1- 9 = 72. Грани SAD и SBC равны, поэтому:

2015-03-04_121801

Найдем SK (рис. 3). Определим угол φ.

2015-03-04_122245

В прямоугольном ΔMKS гипотенуза SM = 6, тогда MK = SM cosφ; МК = 2. SK = SM sinφ (можно найти и по теореме Пифагора).

2015-03-04_122513

Из Δ МАВ по теореме косинусов найдем МВ.

МВ2 = МА2 + АВ2 – 2 МА АВ cos∠MAB; заметим, что cos∠MAB=φ.

2015-03-04_122714

Рассмотрим трапецию BMNC (рис. 4). Проведем MP⟘BC. MK=2, BF=3, BP=1. Из прямоугольного треугольника ВРМ по теореме Пифагора:

МР2 = МВ2 – ВР2 = 33-1=32.

2015-03-04_123012

ege15-1-16ssСледовательно, угол α – тупой, и высота  ΔSKF будет лежать вне треугольника. Построим ST ⊥ KF и найдем длину ST – катета прямоугольного треугольника TKS, противолежащего углу (π-α). ST = SK ∙ sin(π-α) = SK ∙ sinα. Зная косинус α, найдем синус α.

2015-03-04_123209

 

Смотреть видео.

Вариант 1-17.

Решите неравенство: log3(9x+16x-9∙4x+8)≥2x.

Решение. Представим правую часть в виде логарифма по основанию 3:

log3(9x+16x-9∙4x+8)≥log332x. Это неравенство будет верным при выполнении условий:

9x+16x-9∙4x+8≥32x и 9x+16x-9∙4x+8>0. Так как 32x>0, то решить можно только первое из неравенств. Запишем его в виде: 32x+42x-9∙4x+8≥32x;  преобразуем и получим: 42x-9∙4x+8≥0. Сделаем замену: 4x=y. Решим неравенство:  y2-9y+8≥0. Нули трехчлена y2-9y+8 – у1=1, у2=8. Неравенство будет верным при    y<1 и y>8. Но у=4х, а  4x>0 при любом х. Следовательно, 4х будет принадлежать объединению промежутков (0; 1]  и [8; +∞). Найдем промежутки значений х. Решим уравнения: 1) 4х=1, отсюда х=0; 2) 4х=8, отсюда 2=23 и получаем х=3. 4х стремится к нулю при х стремящемся к -∞. 4х стремится к +∞ при х стремящемся к +∞. Таким образом, х принадлежит объединению промежутков: (-∞; 0] и [1,5; +∞).

Смотреть видео.

Вариант 1-18.
В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 60 градусов, угол АВС равен 45 градусов. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P. а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС=12.

ege15-1-18s

Начертим данный треугольник и опишем около него окружность. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Смотрим рис. 6. Проведем высоты ΔАВС и обозначим точки пересечения этих высот с окружностью — точки M, N, P. Смотрим рис. 7.

а) Соединим эти точки (рис. 8) и докажем, что ΔMNP — прямоугольный, т.е. что ∠MNP опирается на полуокружность. Действительно, так как ∠ВСР=45°, то  дуга ВР содержит 90°. Так как ∠ВАМ=45°, то дуга ВМ содержит 90°. Итак, дуга РМ содержит 180°, поэтому ∠MNP=90°, и мы доказали, что ΔMNP — прямоугольный.

б) Найдем площадь ΔMNP. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = ½ · MN · PN. Для того, чтобы найти катеты MN и PN найдем гипотенузу MP и острый угол MPN. МР =2R, а по  следствию к теореме синусов: отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно 2R. 

2015-03-04_183356

Определим величину угла MPN. ∠MPN=∠MPC+∠NPC. ∠MPC=∠MAC=15° (опираются на одну  и ту же дугу МС); ∠NPC=∠NBC=15° (опираются на одну дугу NC). Следовательно, ∠MPN=15°+15°=30°. По гипотенузе МР и острому углу ∠MPN=30°, найдем катеты . Катет MN, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

2015-03-04_185829

Смотреть видео.

 

Сайт размещается на хостинге Спринтхост