ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 02. Геометрия, часть 2
24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК : КА=3 : 4, КМ=18.
Решение. ∆АВС∾∆КВМ по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами. Так как отношения соответственных сторон подобных треугольников равны, то отсюда следует:
По условию ВК составляет 3 части, а КА — 4 части, следовательно, АВ составит 7 частей. Получаем:
25. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
Решение. S∆ABD = S∆ACD = AD ∙ h, где h – высота треугольника и трапеции. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь треугольника AOD, то и останутся равные площади: S∆AОB = S∆CОD. Доказано!
26. Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС относится к длине стороны АВ как 5 : 7. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.
Решение. По свойству биссектрисы АР в треугольнике АВС имеем:
По свойству биссектрисы АК в треугольнике АВМ имеем:
Так как у ∆ АМК и ∆ АВК одна и та же высота h1, а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то отношение площадей ∆ АМК и ∆ АВК равно отношению МК к ВК, т.е. равно 5/14. Заметим, что сумма площадей ∆ АМК и ∆ АВК – это площадь треугольника АВМ. А площадь треугольника АВМ – это половина площади данного треугольника АВС (медиана треугольника делит его площадь пополам), т.е. S∆ABM = ½ S∆ABC .
Отсюда следует, что
Так как у ∆ АРС и ∆ АВР одна и та же высота h2, то отношение площадей ∆ АРС и ∆ АВР равно отношению СР к ВР, т.е. равно 5/7 .
Это означает, что S∆AРС = (5/12) S∆ABC. Площадь треугольника АРС состоит из суммы площадей треугольника АМК и четырехугольника КРСМ. Отсюда
Так как площадь четырехугольника КРСМ составляет 65/228 от площади треугольника АВС, то искомое отношение 65 : 228. Ответ: 65:228.