Высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника

Для занятия по теме: «Высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника» нам понадобятся справочные материалы. Ниже в pdf занятии эти справочные материалы приводятся, но лучше, если вы скачаете СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ 7-9 и будете держать его под рукой.

Высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника

Ответы:

1.1.1.  24;

1.1.2.  26;

1.1.3.  30;

1.1.4.  21;

1.1.5.  18;

1.1.6.  25,5.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, вариант 4, задача №17 на проценты.

Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение. Пусть планируется взять кредит на n лет. Разберемся, как же будет происходить погашение суммы в 16 млн рублей с процентной ставкой 25% годовых. Делим 16 млн рублей на n и получаем ежегодную сумму платежа без процентов, которую обозначим через х, т.е. х = 16/n , а 16 = xn. Проценты начисляют на остаток долга. Таким образом, в июле (когда и дали эти 16 млн рублей) сумма долга составляла xn рублей, а в январе насчитали на эту сумму 25%, и нужно выплатить, помимо основного ежегодного платежа (х млн рублей) еще и проценты. Это 0,25 xn млн рублей за первый год. Далее в июле выплачиваем х млн рублей, и основной долг составит xn-х, т.е х(n-1). В январе на эту сумму будет насчитано 25%, и это 0,25х(n-1) млн рублей процентов  за второй год. За третий год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-2) млн рублей процентов. За четвертый год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-3) млн рублей процентов. Смотрите таблицу.

2016-04-24_123801

Далее суммируются все проценты с остатка основного долга, делятся на n — количество лет займа. Получается сумма p, которую добавляют к ежегодной выплате х млн рублей, и клиент ежегодно выплачивает равными  долями по (x+p) млн рублей. Но это в данной задаче нас не будет интересовать, хотя… задумайтесь: банковские клерки любят говорить, что проценты начисляются на остаток займа, но умалчивают о том, что засчитывают в качестве ежегодной выплаты сумму х, а не сумму (x+p), после выплаты которой остаток был бы меньше, значит, и процентов набежало бы меньше… понимаете? А что вы должны понять? То, что фактически вы выплачиваете банку не 25% годовых, а гораздо больше. Может быть, вам и дают такие задачи, чтобы вы решили для себя, лезть вам в будущем в петлю займов-кредитов или жить по средствам.

Вернемся к задаче. По условию взяли 16 млн рублей, а через n лет вернули 38 млн рублей, значит, набежало 22 млн рублей процентов. Подсчитаем количество процентов (с остатков основного долга):

0,25xn+0,25x(n-1)+0,25x(n-2)+0,25x(n-3)+0,25x(n-4)+…+0,253x+0,252x+0,25x.

Вынесем 0,25х за скобки.

0,25х(n+ (n-1)+ (n-2)+ (n-3)+ (n-4)+…+3+2+1). В скобках мы имеем сумму арифметической прогрессии, которую вычислим по формуле:

2016-04-24_123849

Это сумма процентов за все время кредита.

По условию значение этой дроби равно 22. Решим уравнение:

2016-04-24_123908

Умножим обе части равенства на 2, получаем 0,25x(n+1)n=44.

2016-04-24_123932

4(n+1) = 44   →   n+1 = 11   →   n = 10.

Ответ: кредит планируется взять на 10 лет.

Решебник задачи №17 в 36 вариантах из сборника ФИПИ ЕГЭ-2016. Профильный уровень. Подробнее здесь.

17ege-2016             ege-2016-zad-18

ЕГЭ ФИПИ-2016, вариант 9, задача 18

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

2016-04-17_083756

имеет ровно два решения.

Решение.

Запишем 1-ое уравнение системы в виде: x2 + 5x + y2 -y -52 = |x-5y +5|. ( * )

1) Так как правая часть равенства неотрицательна, то и левая часть равенства должна быть таковой, а именно: x2 + 5x + y2-y-52 ≥ 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 5x) и (y2- y) полные квадраты двучленов.

x2 + 2 х 2,5 + 2,52-2,52 + y2-2∙y∙0,5 + 0,52-0,52-52 ≥ 0;

(x2 + 2 х 2,5 + 2,52) + (y2-2 y 0,5 + 0,52) ≥ 52 + 2,52 + 0,52;

(х + 2,5)2 + (у-0,5)2 ≥ 52 + 6,25 + 0,25;

(х + 2,5)2 + (у-0,5)2 ≥ 58,5. ОДЗ: решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5) и радиусом

2016-04-17_083837

 

2) Раскроем модульные скобки в уравнении ( * ), считая, что выражение под знаком модуля неотрицательно, т.е. х-5у +5 ≥ 0 или 5у ≤ х + 5, отсюда у ≤ 0,2х+1. Тогда равенство ( * ) запишется в виде:

x2 + 5x + y2-y-52 = x-5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.

x2 + 5x + y2-y-52-x + 5y-5 = 0;

x2 + 4x + y2 + 4у-57 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 4x) и (y2 + 4y) полные квадраты двучленов.

x2 + 4x + 4-4 + y2 + 4у +4-4-57 = 0;

(x2 + 4x + 4) + (y2 + 4у +4) = 57 + 4 + 4;

(х + 2)2 + (у + 2)2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О1(-2; -2) и радиусом

2016-04-17_083858

 

Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии, что х-5у +5 ≥ 0, т.е. при у ≤ 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие ниже прямой  х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5),  поэтому удовлетворяют ОДЗ.

figuri-na-kletke17

3) Теперь раскроем модульные скобки в уравнении ( * ), считая, что выражение под знаком модуля отрицательно, т.е. х-5у +5 < 0 или 5у > х + 5, отсюда у>0,2х+1. Тогда равенство ( * ) запишется в виде:

x2 + 5x + y2-y-52 = -x + 5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.

x2 + 5x + y2-y-52 + x-5y + 5 = 0;

x2 + 6x + y2-6у-47 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 6x) и (y2-6y) полные квадраты двучленов.

x2 + 6x + 9-9 + y2-6у + 9-9-47 = 0;

(x2 + 6x + 9) + (y2-6у +9) = 47 + 9 + 9;

(х + 3)2 + (у-3)2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О2(-3; 3) и радиусом

2016-04-17_090338

Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат выше прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии х-5у +5 < 0, т.е. при условии у > 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие выше прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.

4) Найдем точки пересечения окружностей с центрами в точках О1 и О2. Это также точки пересечения любой из этих окружностей с прямой х-5у +5 = 0. Для определенности возьмем уравнение первой из окружностей и решим систему:

2016-04-17_090359

Из 2-го уравнения выразим х через у и подставим в 1-ое уравнение.

2016-04-17_090414

Упростим и решим 2-ое уравнение полученной системы.

(5у-3)2 + (у + 2)2 = 65;

25у2-30у + 9 + у2 +4у + 4-65 = 0;

26у2-26у-52 = 0;

у2-у-2 = 0. По теореме Виета у1 + у2 =1, у1 у2 = -2. Отсюда у1 = -1, у2 = 2.

Тогда х1 = 5 у1-5 = 5 (-1)-5 = -10; х2 = 5 у2-5 = 5 2-5 = 2.

Точки пересечения окружностей с центрами О1 и О2 лежат на прямой х-5у +5 = 0, и это точки Т(-10; -1) и А(5; 2).

5) Разберемся, что представляет собой прямая у-2 = а(х-5). Запишем это уравнение в виде у = а(х-5) + 2 и вспомним, как получается график функции  y = f(x-m) + n из графика функции y = f(x). Он получается переносом графика функции y = f(x) на m единичных отрезков вдоль оси Ох и на n единичных отрезков  вдоль оси Оу. Следовательно, график функции у = а(х-5) + 2 можно получить из графика функции у = ах переносом на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Другими словами, прямая пройдет через точку А(5; 2) и должна иметь такой угловой коэффициент а, чтобы пересечь  наши окружности с центрами в точках О1 и О2 ровно в двух точках. Это произойдет только в тех случаях, когда прямая, проходя через точку А, общую для обеих окружностей, далее будет пересекать только одну из них. Предельными положениями нашей прямой (с параметром а) будут касательные к окружностям в точке А. Нам понадобятся не сами уравнения касательных, но их угловые коэффициенты. Как мы их получим?

6) Радиус О1А, проведенный в точку касания будет перпендикулярен касательной.  Угловые коэффициенты k1 и k2  двух взаимно перпендикулярных прямых   y = k1x+b1 и y = k2x+b2 подчиняются закону: k1 k2 = -1. Составим уравнения прямой О1А и прямой О2А, определим угловой коэффициент каждой прямой, а затем найдем угловые коэффициенты касательных, являющихся предельными положениями прямой у = а(х-5) + 2. Промежуток между найденными значениями параметра а и будет ответом задачи.

Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две данные точки    (х1; у1) и (х2; у2). Эта формула имеет вид:

2016-04-17_090456

Составим уравнение прямой, проходящей через точки О1(-2; -2) и А(5; 2).  У нас х1 = -2, у1 = -2,  х2 = 5, у2 = 2. Подставляем эти значения в формулу:

2016-04-17_090526

Дальше можно не продолжать – понятно, что угловой коэффициент прямой О1А  равен 4/7.   Тогда угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой О1А, равен -7/4 .

   Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О1 имеет вид:

2016-04-17_090552

Аналогично, составляем уравнение прямой О2А.

О2(-3; 3) и А(5; 2). У нас х1 = -3, у1 = 3,  х2 = 5, у2 = 2. Подставляем эти значения в формулу  ( ** ) и получаем:

2016-04-17_090617

Угловой коэффициент прямой О2А  равен -1/8 . Тогда угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой О2А, равен -1 : (- 1/8 ) = 8.

Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О2 имеет вид: у = 8(х-5) + 2.

Таким образом, если угловой коэффициент а прямой у = а(х-5) + 2 будет принимать значения от   -7/4 до 8 включительно, то прямая у = а(х-5) + 2, проходящая через точку А, в которой пересекаются две окружности, будет только  еще один раз пересекать одну из окружностей.

Данная система уравнений будет иметь только два решения при а∈ [- 7/4 ; 8].

Ответ:  -7/4 ≤ а ≤ 8.

Решебник задачи № 18 в 36 вариантах из сборника ФИПИ ЕГЭ-2016. Профильный уровень. Подробнее здесь!

ege-2016-zad-18                  17ege-2016

ОГЭ-2016, варианты задания №2. Часть 2.

Задание №2 ОГЭ-2016 предлагается на тему: «Сравнение действительных чисел».

В части 1 даны 45 заданий на сравнение действительных чисел на семи листах А4 в формате pdf, а в этой части 2 на восьми листах приведены задания с 47-го по 85-й. Точно также  все задания разбиты на «пятерки», в каждой из которых одно задание даётся с решением, а четыре остальных (аналогичных) вы решите самостоятельно. Ниже даны ответы ко всем заданиям.

ОГЭ-2016, варианты задания 2

Ответы:

47) 2. 48) 2. 49) 1. 50) 2. 52) 3. 53) 2. 54) 2. 55) 1. 57) 3. 58) 4. 59) 3. 60) 2. 62) 2. 63) 3. 64) 1. 65) 2. 67) 2. 68) 1. 69) 4. 70) 3. 72) 2. 73) 2. 74) 3. 75) 2. 77) 4. 78) 3. 79) 3. 80) 4. 82) 3. 83) 1. 84) 3. 85) 4.

ОГЭ-2016, варианты задания №2. Часть 1.

Задание №2 ОГЭ-2016 предлагается на тему: «Сравнение действительных чисел».

В части 1 даны 45 заданий на сравнение действительных чисел на семи листах А4 в формате pdf. Все задания разбиты на «пятерки», в каждой из которых одно задание даётся с решением, а четыре остальных (аналогичных) вы решите  самостоятельно. Ниже даны ответы ко всем заданиям.

ОГЭ-2016, варианты задания 2

Ответы:

2) 3. 3) 3. 4) 2. 5)  1. 7)  3.  8) 1. 9)  1.  10)  2. 12)  2. 13)  3. 14)  3. 15)  3. 17)  3.  18)  3. 19)  4. 20)  1.  22)  В. 23)  Е.  24)  В. 25)  Н. 27)  А. 28)  С.  29)  F. 30)  N. 32)  2.  33)  2.  34)  4.  35)  2.  37) 1.  38)  2. 39)  2.  40)  1.  42)  4. 43) 1. 44)  3.  45)  2.

ОГЭ-2016, варианты задания №1

Задание №1 ОГЭ-2016 предлагается на тему: «Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Степень с целым показателем. Стандартный вид числа».

90 примеров на все действия с обыкновенными и десятичными дробями на 3-х листах А4 в формате pdf разбиты на «пятерки», в каждой из которых 1 пример даётся с решением, а 4 остальных (аналогичных) вы решите  самостоятельно. Ниже даны ответы ко всем примерам.

ОГЭ-2016, варианты задания 1

Ответы.

2) 4. 3) 2,5. 4) 0,16. 5) 60. 7) 3. 8) 20. 9) 3,2. 10) 125. 12) 0,2. 13) 2,1. 14) 1,5. 15) 5,4. 17) 0,24. 18) 3. 19) 5,95. 20) 3,9. 22) 2,06. 23)  4,1.   24) 2,54. 25) 0,8. 27) 1,1. 28) 13,25. 29) 23,5. 30) 0,45. 32) 5,25. 33) 7,1. 34) 10. 35) 4,5. 37) 2,8. 38) 1,9. 39)  2,6. 40) 7,1. 42) 0,25.  43) 1,2. 44) 0,5. 45) 0,25. 47) -0,5. 48) -2,75. 49) -0,25. 50) -0,125. 52) -1,2. 53) -2,4. 54) — 2. 55) -2,5. 57)  -432. 58)  -60. 59)  -77.  60)  -135. 62) -2.  63) -3. 64) -1. 65) -1. 67) 3,4. 68)  -20.  69)  -120,5.  70) -1,52. 72) 20. 73) 150. 74) -1333. 75) 30. 77) -2032. 78) 5078. 79) -7951. 80) -4398. 82) 12160. 83) 154. 84) 0,0473. 85) 0,04221.   87) 8910. 88) 3328. 89) 76,8. 90) 10.

Всё получилось? Предлагаю пройти тесты с подобными примерами:

ОГЭ.001. Действия с обыкновенными и десятичными дробями 1.

ОГЭ.002. Действия с обыкновенными и десятичными дробями 2.

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост