ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (варианты № 33 и № 34)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 33)

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

2018-03-27_113214

 

 

 

имеет ровно два различных решения.

Решение. ОДЗ: -2 ≤ х < 6. Рассмотрим первое уравнение системы. Данная дробь будет равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель нет.

2018-03-27_113338

 

 

 

Тогда из второго уравнения системы у = а-х, отсюда   у = а + 2. Итак, одно решение системы уже имеется. А сколько решения вообще может иметь данная система?

2) у2-ху + 3х-у-6 = 0. ( * )

Выразим х через у из второго уравнения системы. Получим: х = а-у. Подставим это выражение вместо х в уравнение  ( * ).

у2-(а-у)у + 3(а-у)-у-6 = 0;

у2-ау + у2 + 3а-3у-у-6 = 0;

2-4у-ау + 3а-6 = 0;

2-(4 + а)у + 3а-6 = 0. Находим дискриминант

D = (4 + a)2-4 2 (3a-6) = 16 + 8a + a2-24a + 48 = a2-16a + 64 = (a-8)2 ≥ 0.

Дискриминант D = (a — 8)2 = 0 при а = 8. Подставляем а = 8 и получаем:

2-(4 + 8)у + 3 8-6 = 0     →    2у2-12у + 18 = 0     →    у2-6у + 9 = 0      →         →   (у-3)2 = 0   →   у = 3.

Находим х = 8-3 = 5.  Это значение удовлетворяет ОДЗ. Мы нашли решение системы: (5; 3), которое соответствует значению а = 8. У нас уже два решения системы.

3) Поищем другие решения системы. Разложим многочлен в левой части равенства ( * ) на множители.

у2-ху + 3х-у-6 = (у2-у-6)-(ху-3х) = (у + 2)(у-3)-х(у-3) = (у-3)(у + 2-х).

Решаем уравнение:

(у-3)(у + 2-х) = 0. Отсюда у-3 = 0 или у + 2-х = 0.

Тогда в первом случае у = 3, и этот случай (при а = 8) мы рассмотрели выше. При этом, подставляя у = 3 во второе уравнение системы, получаем х-3 + а = 0.

Отсюда х = а-3. Учтём ОДЗ и получим двойное неравенство:

-2 ≤ а-3 < 6;

1 ≤ а < 9. Итак, при а ∈ [1; 9) данная система имеет два решения.

Во втором случае у + 2-х = 0. Отсюда у = х-2.

Выразим у из уравнения х + у-а = 0. Получаем у = а-х. Левые части равенств равны – будут равны и правые части.

х-2 = а-х     →      2х = а + 2

2018-03-27_113421

 

 

 

Третье решение система принимает при  а ∈ [-6; 10).

Обращаем внимание на то, что в промежуток  [1; 9) входит значение а = 8, при котором система имеет решение (5; 3), а сам промежуток [1; 9) входит в промежуток [-6; 10).  Из этого следует, что если мы возьмём значение а = 8 и те значения а из промежутка [-6; 10), которые не входят в промежуток [1; 9). В этом случае данная система будет иметь ровно два решения.

2018-03-27_113443Получаем:

а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

 

Ответ: а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 34)

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

(ах2-2х)2 + (а2-а + 2)(ах2-2х)-а2(а-2) = 0

имеет ровно два решения.

Решение. 1) Решим данное уравнение при а = 0.

(-2х)2 + 2 (-2х) = 0     →     4х2-4х = 0   →   4х(х-1) = 0.

Отсюда х = 0 или х-1 = 0  →   х = 1.

Вывод: при а = 0 данное уравнение имеет ровно два решения: х = 0 и х = 1.

2) Сделаем замену: ах2-2х = у. Получаем:

у2 + (а2-а + 2)у-а2(а-2)) = 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения и упростим его.

D = (а2-а + 2)2-4 (-а2(а-2) = а4 + а2 + 4-2а3-4а + 4а2 + 4а3-8а2 =

= а4 + 2а3-3а2-4а + 4 = а4 + 2а3-2а2-4а-а2 + 4 = (а4 + 2а3)-(2а2 + 4а)-(а2-4) =

= а3(а + 2)-2а(а + 2)-(а + 2)(а-2) = (а + 2)(а3-2а-а + 2) =

= (а + 2)((а3-а)-(2а-2)) = (а + 2)(а(а2-1)-2(а-1)) =

= (а + 2)(а(а-1)(а + 1)-2(а-1)) = (а + 2)(а-1)(а(а + 1)-2) =

= (а + 2) (а-1)(а2 + а-2)  = (а + 2)(а-1)(а + 2)(а-1) = (а + 2)2 (а-1)2 > 0 при любых значениях а, кроме а =-2 и а = 1.

3) Если D = 0, т.е. если а = -2 или а = 1, то, используя формулу для решения квадратного уравнения при D = 0:

2018-03-27_113553

 

 

 

 

 

Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у,

при а =-2 получаем -2х2-2х =-4   →   х2 + х-2 = 0   →    х1 =-2 и х2 = 1 (два корня);

при а = 1 получаем  х2-2х = -1 →  х2-2х + 1 = 0  → (х-1)2 = 0  →  х = 1 (один корень).

Вывод: при а =-2  данное уравнение имеет ровно два решения: х =-2 и х = 1.

4) Если D > 0, т.е. если а ∈ (-∞ ; -2) ∪ (-2; 1) ∪ (1; +∞ ), то по формуле для корней квадратного уравнения

2018-03-27_113659

 

 

 

 

 

Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у, получаем:

ах2-2х =-а2  и  ах2-2х = а-2.

4а) ах2-2х =-а2.

D1 = 1-a3 > 0 при a3 < 1  →  a < 1 получаем два корня:

2018-03-27_113749

 

 

4б) ах2-2х-(а-2) = 0.

D1 = 1 + а(а-2) = 1 + а2-2а = а2-2а + 1 = (а-1)2 > 0 при любом а ≠ 1. Тогда получаем

2018-03-27_113836

 

 

Вывод: предполагая, что D > 0 мы получаем четыре решения. Исключим корни пункта 4а). Как? Эти решения получаются при условии а < 1, следовательно, если мы потребуем выполнения условия a  > 1, то от четырёх корней останутся ровно два корня (из пункта 4б).

5) Итог: ровно два решения мы получим при а = 0 или при а =-2 или при а > 1.

Ответ: а =-2; а = 0; а ∈ (1; +∞).

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (варианты № 31 и № 32)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 31)

 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

((а -1)х2 + 3х)2-2((а-1)х2 + 3х) + 1-а2 = 0

имеет ровно два решения.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений, преобразуем данное выражение к виду:

((а-1)х2 + 3х-1)22 = 0. Применим формулу разности квадратов двух выражений и разложим левую часть на множители:

((а-1)х2 + 3х-1-а)((а-1)х2 + 3х-1 + а) = 0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом значении не теряют смысла.

(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 или (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0.

1) (а-1)х2 + 3х-1-а = 0. Найдём дискриминант.

D = 32-4 (a-1) (-1-a) = 9 + 4 (a-1) (1 + a) = 9 + 4 (a2-1) = 9 + 4a2-4 = 5 + 4a2 > 0 при любом значении а, следовательно, уравнение

(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 имеет два действительных корня.

2) (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0. Найдём дискриминант.

D = 32-4 (a-1) (-1 + a) = 9 + 4 (a-1)2 = 9-4 (a2-2а + 1) = 9-4a2 + 8а-4 = -4а2 + 8а + 5. Если и этот дискриминант будет больше нуля, то мы получим к уже имеющимся двум действительным корням ещё два. Но если этот дискриминант будет меньше нуля, то новых корней не будет. Найдём значения а, при которых дискриминант был меньше нуля. Решим неравенство:

-4а2 + 8а + 5 < 0   →    4а2-8а-5 > 0. Решаем уравнение 4а2-8а-5 = 0. Второй коэффициент – чётный, поэтому, находим

D1 = — ac = 42- 4 (-5) = 16 + 20 = 36 = 62 > 0; два действительных корня.

2018-03-15_112831

 

 

Неравенство 4а2-8а-5 > 0 будет верным при а ∈ (-∞ ; а1)  (a2; +∞ ), т.е. при

а ∈ (-∞ ; -0,5)  (2,5; +∞ ). Итак, при этом условии уравнение (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0 не будет иметь действительных корней, и данное в условии уравнение будет иметь ровно два решения.

Ответ: а∈ (- ∞; -0,5)  (2,5; +∞ ).

 

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 32)

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

2018-03-15_113835

 

 

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду:

2018-03-15_113858

 

 

Приведём левую часть к общему знаменателю.

2018-03-15_113913

 

 

Так как -1 ≤ cos4x ≤ 1, то знаменатель дроби при любом значении а положителен, поэтому равенство будет верным, если числитель окажется меньшим нуля. Решаем неравенство:

a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + cos4x-a2 < 0. Применим формулу: 1 + cos2α = 2cos2α, тогда cos4x = 2cos22х-1. Получаем неравенство:

a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + 2cos22х-1-a2 < 0;

2cos22x-(a2-2a)cos2x-(а2-а + 2) < 0. Это квадратное уравнение относительно переменной cos2x. Сделаем замену: cos2x = z. Получаем:

2z2-(a2-2a)z-(а2-а + 2) < 0. ( * )

2018-03-15_113957

 

 

Проиллюстрируем последнее утверждение – рассмотрим график функции  y = cos2x на промежутке

2018-03-15_114031

 

 

2018-03-15_114048

 

 

 

 

 

Неравенство ( * ) должно выполняться и при z =-1 и при z = 1. Искомыми будут являться те значения параметра а, при которых неравенство ( * ) будет выполнено.

1) z =-1.

2 (-1)2-(a2-2a) (-1)-(а2 — а + 2) < 0;

2 + а2-2а-а2 + а-2 < 0   →   -а < 0     →    а > 0.

2) z = 1.

2 12-(a2-2a) 1-(а2-а + 2) < 0;

2-а2 + 2а-а2 + а-2 < 0   →   -2а2 + 3a < 0     →    2а2-3a  > 0    →   a(2a-3) > 0.

2018-03-15_114127

 

 

 

Общее решение: а ∈ (1,5; + ∞).  Ответ: а > 1,5.

ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 36)

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что АD=АE=AL=4.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

2018-03-15_093335Решение.

а) Центр основания ( точка О) правильной пирамиды есть точка пересечения медиан правильного треугольника АВС, поэтому делит медиану AF в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Таким образом, AO : OF = 2 : 1 или AO : АF = 2 : 3. По условию АD=АE=4, значит, CD=BE=2.  Следовательно, так как

2018-03-15_093354

 

 

то треугольники AED и ABC подобны. Это означает, что отношение соответственных медиан этих треугольников также равно 2/3 , т.е.

AO : АF = 2 : 3, поэтому, точка О принадлежит отрезку DE.

б) Треугольник EDL — равнобедренный (LE = LD). Проведем медиану LO, которая будет являться и высотой треугольника EDL . Плоскость EDL пересекает плоскость основания пирамиды по прямой DE. Так как LO⟘DE и AO⟘DE, то ∠AOL является линейным углом между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Обозначим искомый угол AOL через α. Проведем LK⟘AO и найдем тангенс α из прямоугольного треугольника OKL.

2018-03-15_093456

 

 

Прямоугольные треугольники АОМ и AKL подобны по равным углам, их стороны относятся друг к другу, как 5 : 4. На самом деле, так как по условию AL=4, а боковые ребра равны 5, то LM=1, следовательно,

2018-03-15_093526

 

 

Чтобы найти ОК и LK нам нужно найти АО и МО.

АО – радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС.

2018-03-15_093542

 

 

где а – сторона правильного треугольника. У нас а=6.

2018-03-15_093626

 

 

 

 

МО найдем по теореме Пифагора из  ∆ АОМ.

2018-03-15_093705

 

 

 

 

Итак, можем находить тангенс α.

2018-03-15_093747

 

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17 (варианты № 35 и № 36)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17, вариант № 35.

Задача. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 7000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение. Пусть на х га первого поля выращивают картофель. Тогда свёклой занято (10-х) га. С первого поля соберут 300х ц картофеля и 200(10-х) ц свёклы. Пусть на у га второго поля выращивают картофель. Тогда под свёклой  (10-у)га. Со второго поля соберут 200у ц картофеля и 300(10-у) ц свёклы.

С двух полей картофеля соберут 300х + 200у центнеров и после продажи выручат 5000(300х + 200у) или 500000(3х + 2у) рублей.

С двух полей свёклы соберут 200(10-х) + 300(10-у) центнеров и после продажи выручат 7000(200(10-х) + 300(10-у)) или 700000(2(10-х) + 3(10-у)) или

7000000(50-2х-3у) рублей.

Общая сумма денег за картофель и свёклу составит

S = 500000(3х + 2у) + 700000(50-2х-3у) = 100000(15x + 10y + 350 — 14x — 21y);

S = 100000(x  + 350 — 7y) рублей.

Для того, чтобы фермер получил наибольший доход значение переменной у должно быть равно нулю. Это означает, что всё второе поле занято только свёклой. А значение х должно быть наибольшим, значит х = 10. Это означает, что всё первое поле нужно отвести под картофель. Наибольший возможный доход составит  S = 100000 (10 + 350) = 100000 360 = 36000000 рублей.

Ответ: 36000000.

 

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17, вариант № 36.

Задача. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7378000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных 1, 2, 3, … , n, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:

2018-03-14_130958

 

 

Если бы Савелий погасил кредит S = 7007000 за 2 равных  платежа по Х рублей каждый, после начисления  r = 12,5% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получается равенство:

2018-03-14_131019

 

 

 

Умножим обе части равенства на 1,1252.

7378000 1,1252 = 1,125Х + Х;

7378000 1,265625 = 2,125Х. Разделим обе части равенства на 2,125.

3472000 1,265625 = Х.

Х = 4394250 рублей.

Таким образом, если бы Савелий погасил кредит за два года равными платежами по 4394250 рублей, то заплатил бы 4394250 2 = 8788500 рублей.

Савелий погасил кредит S = 7378000 за 3 равных  платежа по У рублей каждый, после начисления  r = 12,5% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, поэтому У найдем из равенства:

2018-03-14_131055

 

 

 

Умножим обе части равенства на 1,1253.

7378000 1,1253 = 1,1252 У + 1,125У + У;

7378000 1,423828125 = 1,265625У + 1,125У + У;

7378000 1,423828125 = 3,390625У. Разделим обе части равенства на 3,390625.

2176000 1,423828125 = У   →   У = 3098250 рублей.

Савелий погасил кредит за 3 равных платежа по 3098250 рублей

и заплатил 3098250 3 = 9294750 рублей.

Разница составляет 9294750 — 8788500 = 506250 рублей.

Ответ: 506250.

ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 35)

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые.

а) Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С1.

б) Найдите площадь этого сечения.

2018-03-14_101704Решение.

Итак, что мы имеем? Из прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с измерениями: AB=3, AD=4 и AA1=4  вырезали прямоугольный параллелепипед A2B2C2D2A3B3C3D3  с измерениями: A2B2=1, A2D2=2 и A2A3=4.

Затем, оставшийся многогранник пересекли плоскостью АВС1, которую мы должны построить и площадь которой требуется найти.

а) Так как плоскости оснований параллельны, то и линии пересечения этих оснований плоскостью сечения будут параллельны, т.е. C1D1 || AB.

Сечение большего параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, В и С1 - это прямоугольник ABC1D1. Проведем диагонали AC1 и BD1  этого прямоугольника, которые будут пересекаться в точке О, они же являются и диагоналями большего прямоугольного параллелепипеда. Заметим, что точка О будет центром симметрии этого параллелепипеда. Так как AD=4, а A2D2=2, то точка О будет лежать в плоскости  грани C2C3D3D2  меньшего параллелепипеда. Секущая плоскость пересечет эту грань по прямой, проходящей через точку О и эта прямая будет параллельна АВ. Проводим через точку О отрезок EF || AB.

Соединяем точки A2 и E, а также точки B2 и F.

A2E и B2F — это линии пересечения плоскости АВС1 с боковыми гранями меньшего параллелепипеда.

б) Таким образом, плоскость сечения  данного многогранника —  AD1C1BB2FEA2. Заметим, что точки E и F являются серединами боковых ребер меньшего параллелепипеда, и искомая площадь равна разности площадей большого прямоугольника ABC1D1  и малого прямоугольника  A2B2FE.

2018-03-14_101755Площадь большого прямоугольника ABC1D1  равна АВ АD1,

2018-03-14_101732

 

 

— гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника AA1D1.

Тогда площадь большого прямоугольника

 

2018-03-14_101836

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17 (варианты № 33 и № 34)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 33.

Задача. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих,  каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Пусть z рабочих первой области добывают алюминий. Тогда (20-z) человек добывают никель. Один рабочий первой области добывает в час 1 кг алюминия или 2 кг никеля. За рабочий день (5 часов) один рабочий добывает 5 кг алюминия или 10 кг никеля. Тогда z рабочих добудут 5z кг алюминия, а (20-z) рабочих добудут 10(20-z) кг никеля.

Пусть t рабочих второй шахты добывают алюминий, тогда (100-t) рабочих добывают никель. Так как эти рабочие трудятся по 5 часов и за один час добывают 2 кг алюминия или 1 кг никеля, то ежедневная добыча составляет 10t кг алюминия и 5(100-t) кг никеля.

Таким образом, обе шахты ежедневно добывают (5z + 10t) кг алюминия и           10(20-z) + 5(100 t) = 200-10z + 500-5t = (700-10z-5t) кг никеля.

На заводе производят сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Получаем равенство: 5z + 10t = 2(700-10z-5t);

5z + 10t = 1400-20z-10t;

25z + 20t = 1400. Делим обе части равенства на 5.

5z + 4t = 280.

Рассуждаем: алюминия для сплава нужно вдвое больше, чем никеля. В первой шахте трудится в 5 раз меньше людей, и каждый из них добывает алюминия вдвое меньше, чем рабочий второй шахты, при этом в сплаве должно быть вдвое больше алюминия, поэтому в интересах производства нужно или всех рабочих первой шахты занять добычей алюминия или максимально большее число рабочих второй шахты поставить на добычу алюминия, т.е. взять z = 20 или z = 0.

1) Если z = 20. Отсюда

4t = 280-5 20   →   4t = 180   →   t = 45.

Алюминия добывается  5z + 10t = 5 20 + 10 45 = 100 + 450 = 550 кг ежедневно.

Никеля добывается 700-10z-5t = 700-10 20-5 45 = 700-200-225 = 275 кг ежедневно. Всего масса сплава составит 550 + 275 = 825 кг.

2) Если z = 0, то 4t = 280   →  t = 280 : 4     →   t = 70.

Алюминия добывается  5z + 10t = 5 0 + 10 70 = 700 кг ежедневно.

Никеля добывается 700-10z-5t = 700-10 0-5 70 = 700-350 = 350 кг ежедневно. Всего масса сплава составит 700 + 350 = 1050 кг. Это наибольшее возможное количество сплава.

Ответ: 1050.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 34.

Задача. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих,  каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Пусть z рабочих первой области добывают алюминий. Тогда (60-z) человек добывают никель. Один рабочий первой области добывает в час 2 кг алюминия или 3 кг никеля. За рабочий день (5 часов) один рабочий добывает 10 кг алюминия или 15 кг никеля. Тогда z рабочих добудут 10z кг алюминия, а (60-z) рабочих добудут 15(60-z) кг никеля.

Пусть t рабочих второй шахты добывают алюминий, тогда (260-t) рабочих добывают никель. Так как эти рабочие трудятся по 5 часов и за один час добывают 3 кг алюминия или 2 кг никеля, то ежедневная добыча составляет 15t кг алюминия и 10(260-t) кг никеля.

Таким образом, обе шахты ежедневно добывают (10z + 15t) кг алюминия и           15(60-z) + 10(260-t) = 900-15z + 2600-10t = (3500-15z-10t) кг никеля.

На заводе производят сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Получаем равенство: 10z + 15t = 2(3500-15z-10t);

10z + 15t = 7000-30z-20t;

40z + 35t = 7000. Делим обе части равенства на 5.

8z + 7t = 1400.

Если всех рабочих первой шахты занять добычей никеля, то можно больше рабочих второй шахты поставить на добычу алюминия, ведь там выработка алюминия больше.

Итак, если z = 0, то 7t = 1400  →   t = 200. Тогда суммарная добыча алюминия составит 15t = 15 200 = 3000 кг, а никеля 3500-2000 = 1500 кг. Тогда завод сможет произвести 3000 + 1500 = 4500 кг сплава.

В ответе 2250 кг. Это повод, чтобы ещё раз всё проверить. Итак, в первой шахте работают 60 человек, и всех их мы поставили на добычу никеля. Так как один человек в первой шахте в час добывает 3 кг никеля, а за день (5 часов) – 15 кг, то все 60 рабочих первой шахты ежедневно добудут 15 60 = 900 кг никеля.

Далее, 200 рабочих второй шахты добывают алюминий. Так как один человек за один час добывает 3 кг алюминия, то за рабочий день (5 часов) он добудет 15 кг алюминия, а 200 человек ежедневно добудут 15 200 = 3000 кг алюминия. Во второй шахте остальные 60 человек добывают никель. Так как один человек второй шахты за один час добывает 2 кг никеля, то за рабочий день (5 часов) он добудет 10 кг никеля, а 60 рабочих добудут за день 10 60 = 600 кг никеля.

Суммарно обе шахты добудут 3000 кг алюминия и 900 + 600 = 1500 кг никеля. Мы видим, что отношение количества алюминия к количеству никеля в сплаве соответствует отношению 2 : 1, и это соответствует условию.

Вывод: мы всё решили верно, и наибольшая возможная масса сплава, которую может ежедневно произвести завод, равна 4500 кг.

Ответ: 4500.

ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 34)

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все рёбра равны 6.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины рёбер АВ и ВС.

б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

2018-03-13_091533Решение.

В правильной пирамиде SABC все ребра по 6, высота SO, MN — средняя линия треугольника АВС, так как по условию точки M и N соединяют середины ребер АВ и ВС основания пирамиды.

а) Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S перпендикулярно MN. Соединим точку S с точкой D – серединой MN (D – точка пересечения средней линии MN с ВК — медианой и  высотой равностороннего треугольника АВС).

Так как BD⟘MN, то и SD⟘MN по ТТП (SD – наклонная, проекция которой OD⟘MN). Отрезок MN перпендикулярен двум прямым BD и SD, следовательно, MN перпендикулярен плоскости  SBD. Плоскость SBD имеет с плоскостью АВС общие точки В и D, следовательно пересечет плоскость АВС по прямой ВК. С гранью SAC плоскость сечения имеет так же две общие точки S и K и,  следовательно, пересечет грань SAC по прямой SK.

∆SBK — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, перпендикулярно отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.

б) Центр грани SAB – это точка Е –пересечение медиан (высот и биссектрис) треугольника SAB. Плоскость SDM перпендикулярна плоскости SBK, так как BD⟘DM и SD⟘DM, поэтому, перпендикуляр EF, проведенный из точки Е к SD и будет расстоянием от центра грани SAB до плоскости сечения SBK.

В ∆SDM DM⟘SD и EF⟘SD, значит, EF || DM.

∆ SDM ∾ ∆ SFЕ по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами.

2018-03-13_091557

 

 

Так как точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника, то

2018-03-13_091620

 

 

Cредняя линия MN = AC : 2 = 6 : 2 = 3, тогда DM = MN : 2 = 3 : 2 = 1,5.

Получаем пропорцию:

2018-03-13_091642

 

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17 (варианты № 31 и № 32)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 31.

Задача. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных 1, 2, 3, … , n, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:

2018-03-12_181227

 

 

Если Тимофей погасит кредит S = 7007000 за 2 равных  платежа по Х рублей каждый, после начисления  r = 20% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получаем равенство:

2018-03-12_181259

 

 

 

Умножим обе части равенства на 1,22.

7007000 1,22 = 1,2Х + Х;

7007000 1,44 = 2,2Х.

Разделим обе части равенства на 2,2.

3185000 1,44 = Х.

Х = 4586400 рублей.

Таким образом, если бы Тимофей погасил кредит за два года равными платежами по 4586400 рублей, то заплатил бы 4586400 2 = 9172800 рублей.

Если Тимофей погасит кредит S = 7007000 за 3 равных  платежа по У рублей каждый, после начисления  r = 20% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получаем равенство:

2018-03-12_181333

 

 

 

Умножим обе части равенства на 1,23.

7007000 1,23 = 1,22 У + 1,2У + У;

7007000 1,728 = 1,44У + 1,2У + У;

7007000 1,728 = 3,64У. Разделим обе части равенства на 3,64.

1925000 1,728 = У   →   У = 3326400 рублей.

Если Тимофей погасит кредит за 3 равных платежа по 3326400 рублей

то заплатит 3326400 3 = 9979200 рублей.

Разница бы составила 9979200 — 9172800 = 806400 рублей.

Ответ: 806400.

 

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 32.

Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 7 месяцев. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на четвёртый месяц кредитования нужно выплатить 54тыс. рублей.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда за четвёртый месяц кредитования нужно выплатить х + 3х 0,02. Зная, что эта сумма составляет 54000 рублей, составим уравнение:

х + 4х 0,02 = 54000;

х + 0,08х = 54000;  1,08х = 54000;   х = 54000 : 1,08;  х = 50000 рублей составит ежемесячный платёж (без процентов).

За всё время кредитования нужно вернуть банку

7х + (7х + 6х + 5х + 4х + 3х + 2х + х) 0,02 = 7х +   7 0,02 =

= 7х + 4х 7 0,02 = 7х + 0,56х = 7,56х = 7,56 50000 = 378000 рублей.

Ответ: 378000.

ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 33)

Вокруг единичного куба ABCDA1B1C1D1 описана сфера. На ребре В1С1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 75° с плоскостью АВС.

а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.

Решение.

Мы имеем единичный куб ABCDA1B1C1D1,  который вписан в сферу.  На ребре В1С1 взята точка М так, что плоскость АВМ образует с основанием ABCD угол 75о.

а) Построим линию пересечения сферы и плоскости, переходящей через точки А,В и М.

2018-03-12_130842 Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность. Единственным образом можно построить окружность, проходящую через три точки. Мы имеем только две общие точки окружности сечения и плоскости АВМ – это точки А и В. Найдем третью общую точку. Для этого продолжим отрезок ВМ, лежащий в грани ВВ1С1С до пересечения со сферой. Точку пересечения обозначим через К. Это общая точка окружности, сферы и плоскости грани ВВ1С1С. Точку К соединим с точкой А. Линия пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М – это окружность, описанная около треугольника АВК. Определим вид этого треугольника.

Если из точки К опустить перпендикуляр КК1 на плоскость основания, то основание перпендикуляра точка К1 будет лежать на ребре ВС (почему? Потому что точка К лежит в плоскости грани ВВ1С1С), и прямая АВ на плоскости основания куба, перпендикулярная ВК1 — проекции  наклонной ВК, будет перпендикулярна и самой наклонной (теорема о трех перпендикулярах), т.е. АВ⟘ВК.

Вывод: ∆ АВК — прямоугольный с углом АВК, равным 90о. АК — гипотенуза, и окружность, описанная около  ∆ АВК, имеет диаметр АК. Тогда длину этой окружности мы найдем по формуле C=πd , где d=AK.

б) АК мы могли бы найти по теореме Пифагора, если бы знали ВК. По условию ∠CBK=75°. Почему? Потому что это линейный угол между плоскостью АВМ и плоскостью АВС. На самом деле: СВ⟘АВ (АВСD – квадрат) и ВК⟘АВ (только что доказывали).  Проведем ВС1 — диагональ грани ВВ1С1С.

2018-03-12_130919

 

 

Если около квадрата ВВ1С1С описать окружность, то ВС1 будет диаметром этой окружности. Точка К лежит в плоскости грани и является точкой сферы, значит, лежит на этой окружности, поэтому ∠ВКС1 — прямой.

∠CBK=75°, следовательно, ∠С1ВК = 75°-45° = 30°.

2018-03-12_131004

ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 32)

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

 2018-03-11_135008Решение.

а) В равностороннем треугольнике АВС, CD=BE=2 по условию, следовательно,

AD=AE=4. Треугольники ADE и ABC подобны по общему углу ВАС и соответственно пропорциональным сторонам этого угла:

2018-03-11_134937

 

 

Соответственные высоты этих подобных треугольников относятся друг к другу так же, т.е. АО : AF = 2 : 3. Это означает, что точка О – середина отрезка DE, делит отрезок AF в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, точка О является точкой пересечения медиан правильного треугольника АВС, т.е. центром основания пирамиды. Мы доказали, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Проведем отрезки LE и LD.

∆ DEL — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Требуется найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды. Плоскости DEL и ABC пересекаются по прямой DE. Линейным углом между этими плоскостями будет ∠AOL, так как это угол, образованный двумя полупрямыми, перпендикулярными  DE. На самом деле: AO⟘DE и LO⟘DE, ведь LO — медиана и высота равнобедренного ∆ DEL. Искомый угол AOL обозначим через α. Проведем LK⟘AO и найдем α из прямоугольного ∆ OKL.

2018-03-11_135101

 

 

Нам нужно найти и LK и OK.

Значение LK найдем из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

Имеем:

2018-03-11_135138

 

 

Итак, нам лишь потребуется найти МО – высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.

Найдем АО, как  радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:

2018-03-11_135214

 

где а – сторона правильного треугольника.

2018-03-11_135428

 

 

 

 

Подставляем нужные значения в равенство ( * ).

2018-03-11_135456

 

 

Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.

Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

2018-03-11_135641

 

Страница 1 из 212
Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост