ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 31)

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

2018-03-10_093057Решение.

Пусть дан конус с осевым сечением MAB, радиус основания AO=12, высота MO=5.

Найдем образующую конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ. Катеты AO=12 и MO=5, следовательно, по теореме Пифагора

гипотенуза МА2 = АО2 + МО2 =122 + 52 = 144 + 25 = 169, отсюда МА=13 (запомните эту пифагорову «тройку»:  5; 12; 13).

а) Через вершину конуса М и две образующие MA и MC проходит сечение конуса АMC так, что MA⟘MC. Сечение представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник АМС, который пересекает основание конуса по прямой АС, причем АС — хорда окружности с центром в точке О и радиусом АО, является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника АМС, и равна

2018-03-10_093129

 

б) Найдем расстояние от плоскости АМС до точки О — центра основания конуса. Сделаем дополнительные построения.

Проведем радиус OD⟘AC.

Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

Точка К – середина АС. Соединим точки М и К. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АМС, МК — медиана, а значит, и высота.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.

2018-03-10_093151

 

Так как МК⟘АС и ОК⟘АС, то плоскость МОК перпендикулярна плоскости АМС, поэтому перпендикуляр, проведенный из точки О к МК будет расстоянием от точки О до плоскости АМС.

В прямоугольном треугольнике МОК мы знаем гипотенузу МК и катет МО.

Найдем второй катет ОК по теореме Пифагора.

2018-03-10_093218

 

 

Проведем OF⟘MK.

OF- искомый отрезок. OF — высота прямоугольного треугольника МОК, проведенная к гипотенузе МК.

Из подобия прямоугольных треугольников МОК и МFО (по углам) следует:

2018-03-10_093255

ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 29)

Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 описана сфера. На ребре СС1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 15° с плоскостью АВС.

а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.

2018-03-09_134735Решение. а) Проведем BM и продолжим до пересечения со сферой. Точку пересечения обозначим через К. Точку К соединим с точкой А и рассмотрим ∆ АВК. По ТТП (теореме о трех перпендикулярах) прямая АВ, проходящая через основание наклонной МВ, перпендикулярно ее проекции ВС, будет перпендикулярна и самой наклонной, т.е. МВ (или КВ) образует с АВ прямой угол.

Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.

Эта окружность будет описана около прямоугольного треугольника АВК, следовательно, гипотенуза этого треугольника будет являться диаметром этой окружности.

2018-03-09_134816

б) Длина линии пересечения плоскости сечения и сферы – это длина построенной нами окружности. Диаметр окружности АК. Длину окружности найдем по формуле С = πd, где d = AK.

Точка K лежит в плоскости грани  BB1C1C,  и если около этой грани описать окружность, пересекающую сферу, то точка К принадлежит и этой окружности и сфере и треугольник ВКС1 – прямоугольный.

∠СВК = 15° по условию, отсюда ∠С1ВК = 45° — 15° = 30°.

2018-03-09_134904

 

ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 25)

Вариант 25.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F – середина ребра АS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

Решение.

 2018-02-19_113733Построим плоскость BCF. Соединим точки B и F. Плоскость BCF пересекает плоскость основания и плоскость BSC по прямой ВС; а плоскость ASB по прямой BF.

Как она пересечет плоскость SAD? Прямая пересечения пройдет через точку F параллельно AD, и это отрезок FN. На самом деле, если бы прямая FN не была параллельна AD, то она бы пересекла прямую AD, и мы имели бы еще одну точку пересечения секущей плоскости с основанием. И эта точка должна была бы принадлежать ВС, но это невозможно, так как AD || BC.

Следовательно, FN || AD. Соединяем точки N и С.

Плоскость BCF – есть равнобокая трапеция BFNC и пересекает плоскость SAD по прямой FN.

Проведем SE⟘AD, тогда пусть точка пересечения SE и FN есть К.

Имеем:  КϵFN и SK⟘FN. Точку К соединим с серединой ВС – точкой М. КМ – ось симметрии равнобокой трапеции BFNC, поэтому KM⊥FN и KM⟘BC. (Можно использовать ТТП и показать, что KM⟘BC).

Таким образом, ∠SKM – линейный угол между плоскостями SAD и BCF.

Обозначим ∠SKM  через α.

Из треугольника SKM, применяя теорему косинусов, можем записать:

2018-02-19_113530

 

 

Рассмотрим грань SAD.

2018-02-19_113806∆ SAD – правильный, φ = 600.

SE – высота и медиана.

Так как по условию все ребра пирамиды равны 1, то SA=AD=SD=1.

Отсюда

2018-02-19_113917

 

 

 

 

В равностороннем ∆SAB отрезок BF является медианой и высотой, поэтому

2018-02-19_113940

 

 

2018-02-19_113820Рассмотрим равнобокую трапецию BFNC.

Проведем FP⟘BC.

2018-02-19_114030

 

 

 

 

Подставим все нужные данные в (*).

2018-02-19_114053

 

Страница 2 из 212
Сайт размещается на хостинге Спринтхост