ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (варианты № 33 и № 34)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 33)

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

2018-03-27_113214

 

 

 

имеет ровно два различных решения.

Решение. ОДЗ: -2 ≤ х < 6. Рассмотрим первое уравнение системы. Данная дробь будет равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель нет.

2018-03-27_113338

 

 

 

Тогда из второго уравнения системы у = а-х, отсюда   у = а + 2. Итак, одно решение системы уже имеется. А сколько решения вообще может иметь данная система?

2) у2-ху + 3х-у-6 = 0. ( * )

Выразим х через у из второго уравнения системы. Получим: х = а-у. Подставим это выражение вместо х в уравнение  ( * ).

у2-(а-у)у + 3(а-у)-у-6 = 0;

у2-ау + у2 + 3а-3у-у-6 = 0;

2-4у-ау + 3а-6 = 0;

2-(4 + а)у + 3а-6 = 0. Находим дискриминант

D = (4 + a)2-4 2 (3a-6) = 16 + 8a + a2-24a + 48 = a2-16a + 64 = (a-8)2 ≥ 0.

Дискриминант D = (a — 8)2 = 0 при а = 8. Подставляем а = 8 и получаем:

2-(4 + 8)у + 3 8-6 = 0     →    2у2-12у + 18 = 0     →    у2-6у + 9 = 0      →         →   (у-3)2 = 0   →   у = 3.

Находим х = 8-3 = 5.  Это значение удовлетворяет ОДЗ. Мы нашли решение системы: (5; 3), которое соответствует значению а = 8. У нас уже два решения системы.

3) Поищем другие решения системы. Разложим многочлен в левой части равенства ( * ) на множители.

у2-ху + 3х-у-6 = (у2-у-6)-(ху-3х) = (у + 2)(у-3)-х(у-3) = (у-3)(у + 2-х).

Решаем уравнение:

(у-3)(у + 2-х) = 0. Отсюда у-3 = 0 или у + 2-х = 0.

Тогда в первом случае у = 3, и этот случай (при а = 8) мы рассмотрели выше. При этом, подставляя у = 3 во второе уравнение системы, получаем х-3 + а = 0.

Отсюда х = а-3. Учтём ОДЗ и получим двойное неравенство:

-2 ≤ а-3 < 6;

1 ≤ а < 9. Итак, при а ∈ [1; 9) данная система имеет два решения.

Во втором случае у + 2-х = 0. Отсюда у = х-2.

Выразим у из уравнения х + у-а = 0. Получаем у = а-х. Левые части равенств равны – будут равны и правые части.

х-2 = а-х     →      2х = а + 2

2018-03-27_113421

 

 

 

Третье решение система принимает при  а ∈ [-6; 10).

Обращаем внимание на то, что в промежуток  [1; 9) входит значение а = 8, при котором система имеет решение (5; 3), а сам промежуток [1; 9) входит в промежуток [-6; 10).  Из этого следует, что если мы возьмём значение а = 8 и те значения а из промежутка [-6; 10), которые не входят в промежуток [1; 9). В этом случае данная система будет иметь ровно два решения.

2018-03-27_113443Получаем:

а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

 

Ответ: а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 34)

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

(ах2-2х)2 + (а2-а + 2)(ах2-2х)-а2(а-2) = 0

имеет ровно два решения.

Решение. 1) Решим данное уравнение при а = 0.

(-2х)2 + 2 (-2х) = 0     →     4х2-4х = 0   →   4х(х-1) = 0.

Отсюда х = 0 или х-1 = 0  →   х = 1.

Вывод: при а = 0 данное уравнение имеет ровно два решения: х = 0 и х = 1.

2) Сделаем замену: ах2-2х = у. Получаем:

у2 + (а2-а + 2)у-а2(а-2)) = 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения и упростим его.

D = (а2-а + 2)2-4 (-а2(а-2) = а4 + а2 + 4-2а3-4а + 4а2 + 4а3-8а2 =

= а4 + 2а3-3а2-4а + 4 = а4 + 2а3-2а2-4а-а2 + 4 = (а4 + 2а3)-(2а2 + 4а)-(а2-4) =

= а3(а + 2)-2а(а + 2)-(а + 2)(а-2) = (а + 2)(а3-2а-а + 2) =

= (а + 2)((а3-а)-(2а-2)) = (а + 2)(а(а2-1)-2(а-1)) =

= (а + 2)(а(а-1)(а + 1)-2(а-1)) = (а + 2)(а-1)(а(а + 1)-2) =

= (а + 2) (а-1)(а2 + а-2)  = (а + 2)(а-1)(а + 2)(а-1) = (а + 2)2 (а-1)2 > 0 при любых значениях а, кроме а =-2 и а = 1.

3) Если D = 0, т.е. если а = -2 или а = 1, то, используя формулу для решения квадратного уравнения при D = 0:

2018-03-27_113553

 

 

 

 

 

Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у,

при а =-2 получаем -2х2-2х =-4   →   х2 + х-2 = 0   →    х1 =-2 и х2 = 1 (два корня);

при а = 1 получаем  х2-2х = -1 →  х2-2х + 1 = 0  → (х-1)2 = 0  →  х = 1 (один корень).

Вывод: при а =-2  данное уравнение имеет ровно два решения: х =-2 и х = 1.

4) Если D > 0, т.е. если а ∈ (-∞ ; -2) ∪ (-2; 1) ∪ (1; +∞ ), то по формуле для корней квадратного уравнения

2018-03-27_113659

 

 

 

 

 

Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у, получаем:

ах2-2х =-а2  и  ах2-2х = а-2.

4а) ах2-2х =-а2.

D1 = 1-a3 > 0 при a3 < 1  →  a < 1 получаем два корня:

2018-03-27_113749

 

 

4б) ах2-2х-(а-2) = 0.

D1 = 1 + а(а-2) = 1 + а2-2а = а2-2а + 1 = (а-1)2 > 0 при любом а ≠ 1. Тогда получаем

2018-03-27_113836

 

 

Вывод: предполагая, что D > 0 мы получаем четыре решения. Исключим корни пункта 4а). Как? Эти решения получаются при условии а < 1, следовательно, если мы потребуем выполнения условия a  > 1, то от четырёх корней останутся ровно два корня (из пункта 4б).

5) Итог: ровно два решения мы получим при а = 0 или при а =-2 или при а > 1.

Ответ: а =-2; а = 0; а ∈ (1; +∞).

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (варианты № 31 и № 32)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 31)

 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

((а -1)х2 + 3х)2-2((а-1)х2 + 3х) + 1-а2 = 0

имеет ровно два решения.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений, преобразуем данное выражение к виду:

((а-1)х2 + 3х-1)22 = 0. Применим формулу разности квадратов двух выражений и разложим левую часть на множители:

((а-1)х2 + 3х-1-а)((а-1)х2 + 3х-1 + а) = 0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом значении не теряют смысла.

(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 или (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0.

1) (а-1)х2 + 3х-1-а = 0. Найдём дискриминант.

D = 32-4 (a-1) (-1-a) = 9 + 4 (a-1) (1 + a) = 9 + 4 (a2-1) = 9 + 4a2-4 = 5 + 4a2 > 0 при любом значении а, следовательно, уравнение

(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 имеет два действительных корня.

2) (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0. Найдём дискриминант.

D = 32-4 (a-1) (-1 + a) = 9 + 4 (a-1)2 = 9-4 (a2-2а + 1) = 9-4a2 + 8а-4 = -4а2 + 8а + 5. Если и этот дискриминант будет больше нуля, то мы получим к уже имеющимся двум действительным корням ещё два. Но если этот дискриминант будет меньше нуля, то новых корней не будет. Найдём значения а, при которых дискриминант был меньше нуля. Решим неравенство:

-4а2 + 8а + 5 < 0   →    4а2-8а-5 > 0. Решаем уравнение 4а2-8а-5 = 0. Второй коэффициент – чётный, поэтому, находим

D1 = — ac = 42- 4 (-5) = 16 + 20 = 36 = 62 > 0; два действительных корня.

2018-03-15_112831

 

 

Неравенство 4а2-8а-5 > 0 будет верным при а ∈ (-∞ ; а1)  (a2; +∞ ), т.е. при

а ∈ (-∞ ; -0,5)  (2,5; +∞ ). Итак, при этом условии уравнение (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0 не будет иметь действительных корней, и данное в условии уравнение будет иметь ровно два решения.

Ответ: а∈ (- ∞; -0,5)  (2,5; +∞ ).

 

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 32)

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

2018-03-15_113835

 

 

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду:

2018-03-15_113858

 

 

Приведём левую часть к общему знаменателю.

2018-03-15_113913

 

 

Так как -1 ≤ cos4x ≤ 1, то знаменатель дроби при любом значении а положителен, поэтому равенство будет верным, если числитель окажется меньшим нуля. Решаем неравенство:

a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + cos4x-a2 < 0. Применим формулу: 1 + cos2α = 2cos2α, тогда cos4x = 2cos22х-1. Получаем неравенство:

a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + 2cos22х-1-a2 < 0;

2cos22x-(a2-2a)cos2x-(а2-а + 2) < 0. Это квадратное уравнение относительно переменной cos2x. Сделаем замену: cos2x = z. Получаем:

2z2-(a2-2a)z-(а2-а + 2) < 0. ( * )

2018-03-15_113957

 

 

Проиллюстрируем последнее утверждение – рассмотрим график функции  y = cos2x на промежутке

2018-03-15_114031

 

 

2018-03-15_114048

 

 

 

 

 

Неравенство ( * ) должно выполняться и при z =-1 и при z = 1. Искомыми будут являться те значения параметра а, при которых неравенство ( * ) будет выполнено.

1) z =-1.

2 (-1)2-(a2-2a) (-1)-(а2 — а + 2) < 0;

2 + а2-2а-а2 + а-2 < 0   →   -а < 0     →    а > 0.

2) z = 1.

2 12-(a2-2a) 1-(а2-а + 2) < 0;

2-а2 + 2а-а2 + а-2 < 0   →   -2а2 + 3a < 0     →    2а2-3a  > 0    →   a(2a-3) > 0.

2018-03-15_114127

 

 

 

Общее решение: а ∈ (1,5; + ∞).  Ответ: а > 1,5.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17 (варианты № 35 и № 36)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17, вариант № 35.

Задача. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 7000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение. Пусть на х га первого поля выращивают картофель. Тогда свёклой занято (10-х) га. С первого поля соберут 300х ц картофеля и 200(10-х) ц свёклы. Пусть на у га второго поля выращивают картофель. Тогда под свёклой  (10-у)га. Со второго поля соберут 200у ц картофеля и 300(10-у) ц свёклы.

С двух полей картофеля соберут 300х + 200у центнеров и после продажи выручат 5000(300х + 200у) или 500000(3х + 2у) рублей.

С двух полей свёклы соберут 200(10-х) + 300(10-у) центнеров и после продажи выручат 7000(200(10-х) + 300(10-у)) или 700000(2(10-х) + 3(10-у)) или

7000000(50-2х-3у) рублей.

Общая сумма денег за картофель и свёклу составит

S = 500000(3х + 2у) + 700000(50-2х-3у) = 100000(15x + 10y + 350 — 14x — 21y);

S = 100000(x  + 350 — 7y) рублей.

Для того, чтобы фермер получил наибольший доход значение переменной у должно быть равно нулю. Это означает, что всё второе поле занято только свёклой. А значение х должно быть наибольшим, значит х = 10. Это означает, что всё первое поле нужно отвести под картофель. Наибольший возможный доход составит  S = 100000 (10 + 350) = 100000 360 = 36000000 рублей.

Ответ: 36000000.

 

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17, вариант № 36.

Задача. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7378000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных 1, 2, 3, … , n, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:

2018-03-14_130958

 

 

Если бы Савелий погасил кредит S = 7007000 за 2 равных  платежа по Х рублей каждый, после начисления  r = 12,5% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получается равенство:

2018-03-14_131019

 

 

 

Умножим обе части равенства на 1,1252.

7378000 1,1252 = 1,125Х + Х;

7378000 1,265625 = 2,125Х. Разделим обе части равенства на 2,125.

3472000 1,265625 = Х.

Х = 4394250 рублей.

Таким образом, если бы Савелий погасил кредит за два года равными платежами по 4394250 рублей, то заплатил бы 4394250 2 = 8788500 рублей.

Савелий погасил кредит S = 7378000 за 3 равных  платежа по У рублей каждый, после начисления  r = 12,5% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, поэтому У найдем из равенства:

2018-03-14_131055

 

 

 

Умножим обе части равенства на 1,1253.

7378000 1,1253 = 1,1252 У + 1,125У + У;

7378000 1,423828125 = 1,265625У + 1,125У + У;

7378000 1,423828125 = 3,390625У. Разделим обе части равенства на 3,390625.

2176000 1,423828125 = У   →   У = 3098250 рублей.

Савелий погасил кредит за 3 равных платежа по 3098250 рублей

и заплатил 3098250 3 = 9294750 рублей.

Разница составляет 9294750 — 8788500 = 506250 рублей.

Ответ: 506250.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17 (варианты № 33 и № 34)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 33.

Задача. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих,  каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Пусть z рабочих первой области добывают алюминий. Тогда (20-z) человек добывают никель. Один рабочий первой области добывает в час 1 кг алюминия или 2 кг никеля. За рабочий день (5 часов) один рабочий добывает 5 кг алюминия или 10 кг никеля. Тогда z рабочих добудут 5z кг алюминия, а (20-z) рабочих добудут 10(20-z) кг никеля.

Пусть t рабочих второй шахты добывают алюминий, тогда (100-t) рабочих добывают никель. Так как эти рабочие трудятся по 5 часов и за один час добывают 2 кг алюминия или 1 кг никеля, то ежедневная добыча составляет 10t кг алюминия и 5(100-t) кг никеля.

Таким образом, обе шахты ежедневно добывают (5z + 10t) кг алюминия и           10(20-z) + 5(100 t) = 200-10z + 500-5t = (700-10z-5t) кг никеля.

На заводе производят сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Получаем равенство: 5z + 10t = 2(700-10z-5t);

5z + 10t = 1400-20z-10t;

25z + 20t = 1400. Делим обе части равенства на 5.

5z + 4t = 280.

Рассуждаем: алюминия для сплава нужно вдвое больше, чем никеля. В первой шахте трудится в 5 раз меньше людей, и каждый из них добывает алюминия вдвое меньше, чем рабочий второй шахты, при этом в сплаве должно быть вдвое больше алюминия, поэтому в интересах производства нужно или всех рабочих первой шахты занять добычей алюминия или максимально большее число рабочих второй шахты поставить на добычу алюминия, т.е. взять z = 20 или z = 0.

1) Если z = 20. Отсюда

4t = 280-5 20   →   4t = 180   →   t = 45.

Алюминия добывается  5z + 10t = 5 20 + 10 45 = 100 + 450 = 550 кг ежедневно.

Никеля добывается 700-10z-5t = 700-10 20-5 45 = 700-200-225 = 275 кг ежедневно. Всего масса сплава составит 550 + 275 = 825 кг.

2) Если z = 0, то 4t = 280   →  t = 280 : 4     →   t = 70.

Алюминия добывается  5z + 10t = 5 0 + 10 70 = 700 кг ежедневно.

Никеля добывается 700-10z-5t = 700-10 0-5 70 = 700-350 = 350 кг ежедневно. Всего масса сплава составит 700 + 350 = 1050 кг. Это наибольшее возможное количество сплава.

Ответ: 1050.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 34.

Задача. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих,  каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Пусть z рабочих первой области добывают алюминий. Тогда (60-z) человек добывают никель. Один рабочий первой области добывает в час 2 кг алюминия или 3 кг никеля. За рабочий день (5 часов) один рабочий добывает 10 кг алюминия или 15 кг никеля. Тогда z рабочих добудут 10z кг алюминия, а (60-z) рабочих добудут 15(60-z) кг никеля.

Пусть t рабочих второй шахты добывают алюминий, тогда (260-t) рабочих добывают никель. Так как эти рабочие трудятся по 5 часов и за один час добывают 3 кг алюминия или 2 кг никеля, то ежедневная добыча составляет 15t кг алюминия и 10(260-t) кг никеля.

Таким образом, обе шахты ежедневно добывают (10z + 15t) кг алюминия и           15(60-z) + 10(260-t) = 900-15z + 2600-10t = (3500-15z-10t) кг никеля.

На заводе производят сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Получаем равенство: 10z + 15t = 2(3500-15z-10t);

10z + 15t = 7000-30z-20t;

40z + 35t = 7000. Делим обе части равенства на 5.

8z + 7t = 1400.

Если всех рабочих первой шахты занять добычей никеля, то можно больше рабочих второй шахты поставить на добычу алюминия, ведь там выработка алюминия больше.

Итак, если z = 0, то 7t = 1400  →   t = 200. Тогда суммарная добыча алюминия составит 15t = 15 200 = 3000 кг, а никеля 3500-2000 = 1500 кг. Тогда завод сможет произвести 3000 + 1500 = 4500 кг сплава.

В ответе 2250 кг. Это повод, чтобы ещё раз всё проверить. Итак, в первой шахте работают 60 человек, и всех их мы поставили на добычу никеля. Так как один человек в первой шахте в час добывает 3 кг никеля, а за день (5 часов) – 15 кг, то все 60 рабочих первой шахты ежедневно добудут 15 60 = 900 кг никеля.

Далее, 200 рабочих второй шахты добывают алюминий. Так как один человек за один час добывает 3 кг алюминия, то за рабочий день (5 часов) он добудет 15 кг алюминия, а 200 человек ежедневно добудут 15 200 = 3000 кг алюминия. Во второй шахте остальные 60 человек добывают никель. Так как один человек второй шахты за один час добывает 2 кг никеля, то за рабочий день (5 часов) он добудет 10 кг никеля, а 60 рабочих добудут за день 10 60 = 600 кг никеля.

Суммарно обе шахты добудут 3000 кг алюминия и 900 + 600 = 1500 кг никеля. Мы видим, что отношение количества алюминия к количеству никеля в сплаве соответствует отношению 2 : 1, и это соответствует условию.

Вывод: мы всё решили верно, и наибольшая возможная масса сплава, которую может ежедневно произвести завод, равна 4500 кг.

Ответ: 4500.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17 (варианты № 31 и № 32)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 31.

Задача. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных 1, 2, 3, … , n, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:

2018-03-12_181227

 

 

Если Тимофей погасит кредит S = 7007000 за 2 равных  платежа по Х рублей каждый, после начисления  r = 20% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получаем равенство:

2018-03-12_181259

 

 

 

Умножим обе части равенства на 1,22.

7007000 1,22 = 1,2Х + Х;

7007000 1,44 = 2,2Х.

Разделим обе части равенства на 2,2.

3185000 1,44 = Х.

Х = 4586400 рублей.

Таким образом, если бы Тимофей погасил кредит за два года равными платежами по 4586400 рублей, то заплатил бы 4586400 2 = 9172800 рублей.

Если Тимофей погасит кредит S = 7007000 за 3 равных  платежа по У рублей каждый, после начисления  r = 20% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получаем равенство:

2018-03-12_181333

 

 

 

Умножим обе части равенства на 1,23.

7007000 1,23 = 1,22 У + 1,2У + У;

7007000 1,728 = 1,44У + 1,2У + У;

7007000 1,728 = 3,64У. Разделим обе части равенства на 3,64.

1925000 1,728 = У   →   У = 3326400 рублей.

Если Тимофей погасит кредит за 3 равных платежа по 3326400 рублей

то заплатит 3326400 3 = 9979200 рублей.

Разница бы составила 9979200 — 9172800 = 806400 рублей.

Ответ: 806400.

 

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 32.

Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 7 месяцев. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на четвёртый месяц кредитования нужно выплатить 54тыс. рублей.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда за четвёртый месяц кредитования нужно выплатить х + 3х 0,02. Зная, что эта сумма составляет 54000 рублей, составим уравнение:

х + 4х 0,02 = 54000;

х + 0,08х = 54000;  1,08х = 54000;   х = 54000 : 1,08;  х = 50000 рублей составит ежемесячный платёж (без процентов).

За всё время кредитования нужно вернуть банку

7х + (7х + 6х + 5х + 4х + 3х + 2х + х) 0,02 = 7х +   7 0,02 =

= 7х + 4х 7 0,02 = 7х + 0,56х = 7,56х = 7,56 50000 = 378000 рублей.

Ответ: 378000.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, вариант 4, задача №17 на проценты.

Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение. Пусть планируется взять кредит на n лет. Разберемся, как же будет происходить погашение суммы в 16 млн рублей с процентной ставкой 25% годовых. Делим 16 млн рублей на n и получаем ежегодную сумму платежа без процентов, которую обозначим через х, т.е. х = 16/n , а 16 = xn. Проценты начисляют на остаток долга. Таким образом, в июле (когда и дали эти 16 млн рублей) сумма долга составляла xn рублей, а в январе насчитали на эту сумму 25%, и нужно выплатить, помимо основного ежегодного платежа (х млн рублей) еще и проценты. Это 0,25 xn млн рублей за первый год. Далее в июле выплачиваем х млн рублей, и основной долг составит xn-х, т.е х(n-1). В январе на эту сумму будет насчитано 25%, и это 0,25х(n-1) млн рублей процентов  за второй год. За третий год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-2) млн рублей процентов. За четвертый год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-3) млн рублей процентов. Смотрите таблицу.

2016-04-24_123801

Далее суммируются все проценты с остатка основного долга, делятся на n — количество лет займа. Получается сумма p, которую добавляют к ежегодной выплате х млн рублей, и клиент ежегодно выплачивает равными  долями по (x+p) млн рублей. Но это в данной задаче нас не будет интересовать, хотя… задумайтесь: банковские клерки любят говорить, что проценты начисляются на остаток займа, но умалчивают о том, что засчитывают в качестве ежегодной выплаты сумму х, а не сумму (x+p), после выплаты которой остаток был бы меньше, значит, и процентов набежало бы меньше… понимаете? А что вы должны понять? То, что фактически вы выплачиваете банку не 25% годовых, а гораздо больше. Может быть, вам и дают такие задачи, чтобы вы решили для себя, лезть вам в будущем в петлю займов-кредитов или жить по средствам.

Вернемся к задаче. По условию взяли 16 млн рублей, а через n лет вернули 38 млн рублей, значит, набежало 22 млн рублей процентов. Подсчитаем количество процентов (с остатков основного долга):

0,25xn+0,25x(n-1)+0,25x(n-2)+0,25x(n-3)+0,25x(n-4)+…+0,253x+0,252x+0,25x.

Вынесем 0,25х за скобки.

0,25х(n+ (n-1)+ (n-2)+ (n-3)+ (n-4)+…+3+2+1). В скобках мы имеем сумму арифметической прогрессии, которую вычислим по формуле:

2016-04-24_123849

Это сумма процентов за все время кредита.

По условию значение этой дроби равно 22. Решим уравнение:

2016-04-24_123908

Умножим обе части равенства на 2, получаем 0,25x(n+1)n=44.

2016-04-24_123932

4(n+1) = 44   →   n+1 = 11   →   n = 10.

Ответ: кредит планируется взять на 10 лет.

Решебник задачи №17 в 36 вариантах из сборника ФИПИ ЕГЭ-2016. Профильный уровень. Подробнее здесь.

17ege-2016             ege-2016-zad-18

ЕГЭ ФИПИ-2016, вариант 9, задача 18

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

2016-04-17_083756

имеет ровно два решения.

Решение.

Запишем 1-ое уравнение системы в виде: x2 + 5x + y2 -y -52 = |x-5y +5|. ( * )

1) Так как правая часть равенства неотрицательна, то и левая часть равенства должна быть таковой, а именно: x2 + 5x + y2-y-52 ≥ 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 5x) и (y2- y) полные квадраты двучленов.

x2 + 2 х 2,5 + 2,52-2,52 + y2-2∙y∙0,5 + 0,52-0,52-52 ≥ 0;

(x2 + 2 х 2,5 + 2,52) + (y2-2 y 0,5 + 0,52) ≥ 52 + 2,52 + 0,52;

(х + 2,5)2 + (у-0,5)2 ≥ 52 + 6,25 + 0,25;

(х + 2,5)2 + (у-0,5)2 ≥ 58,5. ОДЗ: решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5) и радиусом

2016-04-17_083837

 

2) Раскроем модульные скобки в уравнении ( * ), считая, что выражение под знаком модуля неотрицательно, т.е. х-5у +5 ≥ 0 или 5у ≤ х + 5, отсюда у ≤ 0,2х+1. Тогда равенство ( * ) запишется в виде:

x2 + 5x + y2-y-52 = x-5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.

x2 + 5x + y2-y-52-x + 5y-5 = 0;

x2 + 4x + y2 + 4у-57 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 4x) и (y2 + 4y) полные квадраты двучленов.

x2 + 4x + 4-4 + y2 + 4у +4-4-57 = 0;

(x2 + 4x + 4) + (y2 + 4у +4) = 57 + 4 + 4;

(х + 2)2 + (у + 2)2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О1(-2; -2) и радиусом

2016-04-17_083858

 

Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии, что х-5у +5 ≥ 0, т.е. при у ≤ 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие ниже прямой  х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5),  поэтому удовлетворяют ОДЗ.

figuri-na-kletke17

3) Теперь раскроем модульные скобки в уравнении ( * ), считая, что выражение под знаком модуля отрицательно, т.е. х-5у +5 < 0 или 5у > х + 5, отсюда у>0,2х+1. Тогда равенство ( * ) запишется в виде:

x2 + 5x + y2-y-52 = -x + 5y +5. Перенесём все в левую часть и упростим её.

x2 + 5x + y2-y-52 + x-5y + 5 = 0;

x2 + 6x + y2-6у-47 = 0. Выделим из алгебраических сумм (x2 + 6x) и (y2-6y) полные квадраты двучленов.

x2 + 6x + 9-9 + y2-6у + 9-9-47 = 0;

(x2 + 6x + 9) + (y2-6у +9) = 47 + 9 + 9;

(х + 3)2 + (у-3)2 = 65. Это уравнение окружности с центром в точке О2(-3; 3) и радиусом

2016-04-17_090338

Рассматривать будем только те точки этой окружности, которые лежат выше прямой х-5у +5 = 0, так как мы получили уравнение этой окружности при условии х-5у +5 < 0, т.е. при условии у > 0,2х+1. Заметим, что все точки этой окружности, лежащие выше прямой х-5у +5 = 0, находятся вне окружности с центром в точке Q(-2,5; 0,5), поэтому удовлетворяют ОДЗ.

4) Найдем точки пересечения окружностей с центрами в точках О1 и О2. Это также точки пересечения любой из этих окружностей с прямой х-5у +5 = 0. Для определенности возьмем уравнение первой из окружностей и решим систему:

2016-04-17_090359

Из 2-го уравнения выразим х через у и подставим в 1-ое уравнение.

2016-04-17_090414

Упростим и решим 2-ое уравнение полученной системы.

(5у-3)2 + (у + 2)2 = 65;

25у2-30у + 9 + у2 +4у + 4-65 = 0;

26у2-26у-52 = 0;

у2-у-2 = 0. По теореме Виета у1 + у2 =1, у1 у2 = -2. Отсюда у1 = -1, у2 = 2.

Тогда х1 = 5 у1-5 = 5 (-1)-5 = -10; х2 = 5 у2-5 = 5 2-5 = 2.

Точки пересечения окружностей с центрами О1 и О2 лежат на прямой х-5у +5 = 0, и это точки Т(-10; -1) и А(5; 2).

5) Разберемся, что представляет собой прямая у-2 = а(х-5). Запишем это уравнение в виде у = а(х-5) + 2 и вспомним, как получается график функции  y = f(x-m) + n из графика функции y = f(x). Он получается переносом графика функции y = f(x) на m единичных отрезков вдоль оси Ох и на n единичных отрезков  вдоль оси Оу. Следовательно, график функции у = а(х-5) + 2 можно получить из графика функции у = ах переносом на 5 единиц вправо и на 2 единицы вверх. Другими словами, прямая пройдет через точку А(5; 2) и должна иметь такой угловой коэффициент а, чтобы пересечь  наши окружности с центрами в точках О1 и О2 ровно в двух точках. Это произойдет только в тех случаях, когда прямая, проходя через точку А, общую для обеих окружностей, далее будет пересекать только одну из них. Предельными положениями нашей прямой (с параметром а) будут касательные к окружностям в точке А. Нам понадобятся не сами уравнения касательных, но их угловые коэффициенты. Как мы их получим?

6) Радиус О1А, проведенный в точку касания будет перпендикулярен касательной.  Угловые коэффициенты k1 и k2  двух взаимно перпендикулярных прямых   y = k1x+b1 и y = k2x+b2 подчиняются закону: k1 k2 = -1. Составим уравнения прямой О1А и прямой О2А, определим угловой коэффициент каждой прямой, а затем найдем угловые коэффициенты касательных, являющихся предельными положениями прямой у = а(х-5) + 2. Промежуток между найденными значениями параметра а и будет ответом задачи.

Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две данные точки    (х1; у1) и (х2; у2). Эта формула имеет вид:

2016-04-17_090456

Составим уравнение прямой, проходящей через точки О1(-2; -2) и А(5; 2).  У нас х1 = -2, у1 = -2,  х2 = 5, у2 = 2. Подставляем эти значения в формулу:

2016-04-17_090526

Дальше можно не продолжать – понятно, что угловой коэффициент прямой О1А  равен 4/7.   Тогда угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой О1А, равен -7/4 .

   Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О1 имеет вид:

2016-04-17_090552

Аналогично, составляем уравнение прямой О2А.

О2(-3; 3) и А(5; 2). У нас х1 = -3, у1 = 3,  х2 = 5, у2 = 2. Подставляем эти значения в формулу  ( ** ) и получаем:

2016-04-17_090617

Угловой коэффициент прямой О2А  равен -1/8 . Тогда угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой О2А, равен -1 : (- 1/8 ) = 8.

Итак, уравнение касательной в точке А к окружности с центром в точке О2 имеет вид: у = 8(х-5) + 2.

Таким образом, если угловой коэффициент а прямой у = а(х-5) + 2 будет принимать значения от   -7/4 до 8 включительно, то прямая у = а(х-5) + 2, проходящая через точку А, в которой пересекаются две окружности, будет только  еще один раз пересекать одну из окружностей.

Данная система уравнений будет иметь только два решения при а∈ [- 7/4 ; 8].

Ответ:  -7/4 ≤ а ≤ 8.

Решебник задачи № 18 в 36 вариантах из сборника ФИПИ ЕГЭ-2016. Профильный уровень. Подробнее здесь!

ege-2016-zad-18                  17ege-2016

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост