ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 36)
В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что АD=АE=AL=4.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Решение.
а) Центр основания ( точка О) правильной пирамиды есть точка пересечения медиан правильного треугольника АВС, поэтому делит медиану AF в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Таким образом, AO : OF = 2 : 1 или AO : АF = 2 : 3. По условию АD=АE=4, значит, CD=BE=2. Следовательно, так как
то треугольники AED и ABC подобны. Это означает, что отношение соответственных медиан этих треугольников также равно 2/3 , т.е.
AO : АF = 2 : 3, поэтому, точка О принадлежит отрезку DE.
б) Треугольник EDL — равнобедренный (LE = LD). Проведем медиану LO, которая будет являться и высотой треугольника EDL . Плоскость EDL пересекает плоскость основания пирамиды по прямой DE. Так как LO⟘DE и AO⟘DE, то ∠AOL является линейным углом между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Обозначим искомый угол AOL через α. Проведем LK⟘AO и найдем тангенс α из прямоугольного треугольника OKL.
Прямоугольные треугольники АОМ и AKL подобны по равным углам, их стороны относятся друг к другу, как 5 : 4. На самом деле, так как по условию AL=4, а боковые ребра равны 5, то LM=1, следовательно,
Чтобы найти ОК и LK нам нужно найти АО и МО.
АО – радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС.
где а – сторона правильного треугольника. У нас а=6.
МО найдем по теореме Пифагора из ∆ АОМ.
Итак, можем находить тангенс α.
ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 35)
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые.
а) Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С1.
б) Найдите площадь этого сечения.
Решение.
Итак, что мы имеем? Из прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с измерениями: AB=3, AD=4 и AA1=4 вырезали прямоугольный параллелепипед A2B2C2D2A3B3C3D3 с измерениями: A2B2=1, A2D2=2 и A2A3=4.
Затем, оставшийся многогранник пересекли плоскостью АВС1, которую мы должны построить и площадь которой требуется найти.
а) Так как плоскости оснований параллельны, то и линии пересечения этих оснований плоскостью сечения будут параллельны, т.е. C1D1 || AB.
Сечение большего параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, В и С1 - это прямоугольник ABC1D1. Проведем диагонали AC1 и BD1 этого прямоугольника, которые будут пересекаться в точке О, они же являются и диагоналями большего прямоугольного параллелепипеда. Заметим, что точка О будет центром симметрии этого параллелепипеда. Так как AD=4, а A2D2=2, то точка О будет лежать в плоскости грани C2C3D3D2 меньшего параллелепипеда. Секущая плоскость пересечет эту грань по прямой, проходящей через точку О и эта прямая будет параллельна АВ. Проводим через точку О отрезок EF || AB.
Соединяем точки A2 и E, а также точки B2 и F.
A2E и B2F — это линии пересечения плоскости АВС1 с боковыми гранями меньшего параллелепипеда.
б) Таким образом, плоскость сечения данного многогранника — AD1C1BB2FEA2. Заметим, что точки E и F являются серединами боковых ребер меньшего параллелепипеда, и искомая площадь равна разности площадей большого прямоугольника ABC1D1 и малого прямоугольника A2B2FE.
Площадь большого прямоугольника ABC1D1 равна АВ ∙ АD1,
— гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника AA1D1.
Тогда площадь большого прямоугольника
ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 34)
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все рёбра равны 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины рёбер АВ и ВС.
б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.
Решение.
В правильной пирамиде SABC все ребра по 6, высота SO, MN — средняя линия треугольника АВС, так как по условию точки M и N соединяют середины ребер АВ и ВС основания пирамиды.
а) Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S перпендикулярно MN. Соединим точку S с точкой D – серединой MN (D – точка пересечения средней линии MN с ВК — медианой и высотой равностороннего треугольника АВС).
Так как BD⟘MN, то и SD⟘MN по ТТП (SD – наклонная, проекция которой OD⟘MN). Отрезок MN перпендикулярен двум прямым BD и SD, следовательно, MN перпендикулярен плоскости SBD. Плоскость SBD имеет с плоскостью АВС общие точки В и D, следовательно пересечет плоскость АВС по прямой ВК. С гранью SAC плоскость сечения имеет так же две общие точки S и K и, следовательно, пересечет грань SAC по прямой SK.
∆SBK — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, перпендикулярно отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.
б) Центр грани SAB – это точка Е –пересечение медиан (высот и биссектрис) треугольника SAB. Плоскость SDM перпендикулярна плоскости SBK, так как BD⟘DM и SD⟘DM, поэтому, перпендикуляр EF, проведенный из точки Е к SD и будет расстоянием от центра грани SAB до плоскости сечения SBK.
В ∆SDM DM⟘SD и EF⟘SD, значит, EF || DM.
∆ SDM ∾ ∆ SFЕ по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами.
Так как точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника, то
Cредняя линия MN = AC : 2 = 6 : 2 = 3, тогда DM = MN : 2 = 3 : 2 = 1,5.
Получаем пропорцию:
ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 33)
Вокруг единичного куба ABCDA1B1C1D1 описана сфера. На ребре В1С1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 75° с плоскостью АВС.
а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.
Решение.
Мы имеем единичный куб ABCDA1B1C1D1, который вписан в сферу. На ребре В1С1 взята точка М так, что плоскость АВМ образует с основанием ABCD угол 75о.
а) Построим линию пересечения сферы и плоскости, переходящей через точки А,В и М.
Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность. Единственным образом можно построить окружность, проходящую через три точки. Мы имеем только две общие точки окружности сечения и плоскости АВМ – это точки А и В. Найдем третью общую точку. Для этого продолжим отрезок ВМ, лежащий в грани ВВ1С1С до пересечения со сферой. Точку пересечения обозначим через К. Это общая точка окружности, сферы и плоскости грани ВВ1С1С. Точку К соединим с точкой А. Линия пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М – это окружность, описанная около треугольника АВК. Определим вид этого треугольника.
Если из точки К опустить перпендикуляр КК1 на плоскость основания, то основание перпендикуляра точка К1 будет лежать на ребре ВС (почему? Потому что точка К лежит в плоскости грани ВВ1С1С), и прямая АВ на плоскости основания куба, перпендикулярная ВК1 — проекции наклонной ВК, будет перпендикулярна и самой наклонной (теорема о трех перпендикулярах), т.е. АВ⟘ВК.
Вывод: ∆ АВК — прямоугольный с углом АВК, равным 90о. АК — гипотенуза, и окружность, описанная около ∆ АВК, имеет диаметр АК. Тогда длину этой окружности мы найдем по формуле C=πd , где d=AK.
б) АК мы могли бы найти по теореме Пифагора, если бы знали ВК. По условию ∠CBK=75°. Почему? Потому что это линейный угол между плоскостью АВМ и плоскостью АВС. На самом деле: СВ⟘АВ (АВСD – квадрат) и ВК⟘АВ (только что доказывали). Проведем ВС1 — диагональ грани ВВ1С1С.
Если около квадрата ВВ1С1С описать окружность, то ВС1 будет диаметром этой окружности. Точка К лежит в плоскости грани и является точкой сферы, значит, лежит на этой окружности, поэтому ∠ВКС1 — прямой.
∠CBK=75°, следовательно, ∠С1ВК = 75°-45° = 30°.
ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 32)
В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Решение.
а) В равностороннем треугольнике АВС, CD=BE=2 по условию, следовательно,
AD=AE=4. Треугольники ADE и ABC подобны по общему углу ВАС и соответственно пропорциональным сторонам этого угла:
Соответственные высоты этих подобных треугольников относятся друг к другу так же, т.е. АО : AF = 2 : 3. Это означает, что точка О – середина отрезка DE, делит отрезок AF в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, точка О является точкой пересечения медиан правильного треугольника АВС, т.е. центром основания пирамиды. Мы доказали, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Проведем отрезки LE и LD.
∆ DEL — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Требуется найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды. Плоскости DEL и ABC пересекаются по прямой DE. Линейным углом между этими плоскостями будет ∠AOL, так как это угол, образованный двумя полупрямыми, перпендикулярными DE. На самом деле: AO⟘DE и LO⟘DE, ведь LO — медиана и высота равнобедренного ∆ DEL. Искомый угол AOL обозначим через α. Проведем LK⟘AO и найдем α из прямоугольного ∆ OKL.
Нам нужно найти и LK и OK.
Значение LK найдем из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.
Имеем:
Итак, нам лишь потребуется найти МО – высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.
Найдем АО, как радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:
где а – сторона правильного треугольника.
Подставляем нужные значения в равенство ( * ).
Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.
Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.
ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 31)
Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Решение.
Пусть дан конус с осевым сечением MAB, радиус основания AO=12, высота MO=5.
Найдем образующую конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ. Катеты AO=12 и MO=5, следовательно, по теореме Пифагора
гипотенуза МА2 = АО2 + МО2 =122 + 52 = 144 + 25 = 169, отсюда МА=13 (запомните эту пифагорову «тройку»: 5; 12; 13).
а) Через вершину конуса М и две образующие MA и MC проходит сечение конуса АMC так, что MA⟘MC. Сечение представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник АМС, который пересекает основание конуса по прямой АС, причем АС — хорда окружности с центром в точке О и радиусом АО, является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника АМС, и равна
б) Найдем расстояние от плоскости АМС до точки О — центра основания конуса. Сделаем дополнительные построения.
Проведем радиус OD⟘AC.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
Точка К – середина АС. Соединим точки М и К. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АМС, МК — медиана, а значит, и высота.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.
Так как МК⟘АС и ОК⟘АС, то плоскость МОК перпендикулярна плоскости АМС, поэтому перпендикуляр, проведенный из точки О к МК будет расстоянием от точки О до плоскости АМС.
В прямоугольном треугольнике МОК мы знаем гипотенузу МК и катет МО.
Найдем второй катет ОК по теореме Пифагора.
Проведем OF⟘MK.
OF- искомый отрезок. OF — высота прямоугольного треугольника МОК, проведенная к гипотенузе МК.
Из подобия прямоугольных треугольников МОК и МFО (по углам) следует:
ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 29)
Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 описана сфера. На ребре СС1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 15° с плоскостью АВС.
а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.
Решение. а) Проведем BM и продолжим до пересечения со сферой. Точку пересечения обозначим через К. Точку К соединим с точкой А и рассмотрим ∆ АВК. По ТТП (теореме о трех перпендикулярах) прямая АВ, проходящая через основание наклонной МВ, перпендикулярно ее проекции ВС, будет перпендикулярна и самой наклонной, т.е. МВ (или КВ) образует с АВ прямой угол.
Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.
Эта окружность будет описана около прямоугольного треугольника АВК, следовательно, гипотенуза этого треугольника будет являться диаметром этой окружности.
б) Длина линии пересечения плоскости сечения и сферы – это длина построенной нами окружности. Диаметр окружности АК. Длину окружности найдем по формуле С = πd, где d = AK.
Точка K лежит в плоскости грани BB1C1C, и если около этой грани описать окружность, пересекающую сферу, то точка К принадлежит и этой окружности и сфере и треугольник ВКС1 – прямоугольный.
∠СВК = 15° по условию, отсюда ∠С1ВК = 45° — 15° = 30°.
ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 25)
Вариант 25.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F – середина ребра АS.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.
б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.
Решение.
Построим плоскость BCF. Соединим точки B и F. Плоскость BCF пересекает плоскость основания и плоскость BSC по прямой ВС; а плоскость ASB по прямой BF.
Как она пересечет плоскость SAD? Прямая пересечения пройдет через точку F параллельно AD, и это отрезок FN. На самом деле, если бы прямая FN не была параллельна AD, то она бы пересекла прямую AD, и мы имели бы еще одну точку пересечения секущей плоскости с основанием. И эта точка должна была бы принадлежать ВС, но это невозможно, так как AD || BC.
Следовательно, FN || AD. Соединяем точки N и С.
Плоскость BCF – есть равнобокая трапеция BFNC и пересекает плоскость SAD по прямой FN.
Проведем SE⟘AD, тогда пусть точка пересечения SE и FN есть К.
Имеем: КϵFN и SK⟘FN. Точку К соединим с серединой ВС – точкой М. КМ – ось симметрии равнобокой трапеции BFNC, поэтому KM⊥FN и KM⟘BC. (Можно использовать ТТП и показать, что KM⟘BC).
Таким образом, ∠SKM – линейный угол между плоскостями SAD и BCF.
Обозначим ∠SKM через α.
Из треугольника SKM, применяя теорему косинусов, можем записать:
Рассмотрим грань SAD.
∆ SAD – правильный, φ = 600.
SE – высота и медиана.
Так как по условию все ребра пирамиды равны 1, то SA=AD=SD=1.
Отсюда
В равностороннем ∆SAB отрезок BF является медианой и высотой, поэтому
Рассмотрим равнобокую трапецию BFNC.
Проведем FP⟘BC.
Подставим все нужные данные в (*).
