ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 02. Геометрия, часть 2

24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК : КА=3 : 4, КМ=18.

oge15-var2-24Решение. ∆АВС∾∆КВМ по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами. Так как отношения соответственных сторон подобных треугольников равны, то отсюда следует:

2015-10-19_084413

По условию ВК составляет 3 части, а КА — 4 части, следовательно, АВ составит 7 частей. Получаем:

2015-10-19_084539

25. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

oge15-var2-25Решение.  SABD = SACD =  AD h, где h – высота треугольника и трапеции. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь треугольника AOD, то и останутся равные площади: SAОB = SCОD. Доказано!

26. Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС относится к длине стороны АВ как 5 : 7. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.

oge15-var2-26Решение. По свойству биссектрисы АР в треугольнике АВС имеем:

2015-10-19_090028

По свойству биссектрисы АК в треугольнике АВМ имеем:

2015-10-19_090051

Так как у ∆ АМК и ∆ АВК одна и та же высота h1, а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то отношение площадей ∆ АМК и ∆ АВК равно отношению МК к ВК, т.е. равно  5/14. Заметим, что сумма площадей ∆ АМК и ∆ АВК – это площадь треугольника АВМ. А площадь треугольника АВМ – это половина площади данного треугольника АВС (медиана треугольника делит его площадь пополам), т.е. SABM =  ½ SABC .

Отсюда следует, что

2015-10-19_090147

Так как у ∆ АРС и ∆ АВР одна и та же высота h2, то отношение площадей ∆ АРС и ∆ АВР равно отношению СР к ВР, т.е. равно 5/7 .

Это означает, что SAРС = (5/12) SABC. Площадь треугольника АРС состоит из суммы площадей треугольника АМК и четырехугольника КРСМ. Отсюда

2015-10-19_090233

Так как площадь четырехугольника КРСМ составляет  65/228 от площади треугольника АВС, то искомое отношение 65 : 228. Ответ: 65:228.

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 02. Геометрия, часть 1.

Вариант 2. Часть 1. Модуль «Геометрия».

oge15-var2-99. В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны. Внешний угол при вершине В равен 116°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Решение. 1 способ. Нам дан равнобедренный треугольник с основанием АВ. Внешние углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, и внешний угол при вершине А равен 116°. Сумма всех внешних углов, взятых по одному при каждой вершине любого многоугольника равна 360°, следовательно, внешний угол при вершине С равен 360°-(116°+116°)=128°. Отсюда ∠С=180°-128°=52°.

2 способ. Угол В, смежный с данным внешним углом, равен 180°-116°=64°. Так углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠А=∠В=64°. Тогда третий угол треугольника ∠С=180°-(64°+64°)=52°. Ответ: 52.

 

oge15-var2-1010. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и ∠АВС=124°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол ВОС – центральный и опирается на дугу ВС. На эту же дугу опирается угол ВАС – угол при основании равнобедренного треугольника АВС. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому:

∠ВАС=(180°-∠АВС):2; ∠ВАС=(180°-124°):2=28°. Так как вписанный угол равен 28°, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше. Отсюда ∠ВОС=28°∙2=56°. Ответ: 56.

 

oge15-var2-1111. Основания трапеции равны 11 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.

Решение. Пусть в трапеции ABCD основания ВС=11 и AD=14. В треугольнике АВС отрезок МО является средней линией. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. МО=ВС:2=11:2=5,5. В треугольнике ACD отрезок ON является средней линией, поэтому ON=AD:2=14:2=7. В ответе укажем большее значение. Ответ: 7.

 

oge15-var2-1212. В треугольнике АВС DE – средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 20. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение. ∆CDE и  ∆ABC подобны по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами этих треугольников. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. Tак как AB:DE=2:1 (DE – средняя линия треугольника АВС), то SABC : SCDE = 22 : 12 = 4 : 1. Другими словами: так как АВ больше DE в 2 раза, то площадь треугольника АВС больше площади треугольника CDE в 22, т.е. в 4 раза. Получаем:

S∆ABC = 4 S∆CDE  = 4 20 = 80. Ответ: 80.

oge15-var2-13

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (24, 25, 26)-геометрия

Часть 2. Модуль «Геометрия».

24. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 13° и 17°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 6.

15-01-24Решение. Пусть в Δ АВС ∠АВС = 13° и ∠АСВ = 17°, тогда третий угол — ∠ВАС = 180°-(13°+17°) = 150°. Около Δ АВС описана окружность с центром в точке О и радиусом R=ОВ=6. Требуется найти сторону ВС. Вспомним теорему синусов. Стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

2015-03-27_102214

Нам понадобится следствие к этой теореме:

и каждое из отношений равно диаметру окружности, описанной около данного треугольника, т.е.

2015-03-27_102243

Отсюда BC = 2R ∙ sin150° = 2 ∙ 6 ∙ sin(180°-30°) = 12 ∙ sin30°=12 ∙ 0,5 = 6. Ответ: 6.

25. Внутри параллелограмма ABCD отметили точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников АВМ и CDM равна площади треугольника BCD.

15-01-25Решение. Проведем через точку М общий перпендикуляр KN параллельных сторон АВ и СD. Заметим, что МК является высотой треугольника АВМ,  MN – высотой треугольника CDM, а KN можно считать высотой треугольника BCD, так как длина перпендикуляра, проведенного из точки В к стороне CD, будет равна KN.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

2015-03-27_102305

Сложим площади треугольников АВМ и CDM, и в результате получим площадь треугольника  BCD, что и требовалось доказать. На самом деле, так как AB=CD (противолежащие стороны параллелограмма равны), то:

2015-03-27_102335

26. Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.

Решение. Замечаем, что 23° + 67° = 90°, а это означает, что продолжения боковых сторон трапеции, пересекаясь, образуют прямой угол.

15-01-26Итак, в трапеции ABCD ∠BAC=23°, ∠ADC=67°,

M – середина АВ, N – середина CD и длина MN = 15.

E – середина ВС,  F – середина AD и длина EF = 8. Пусть отрезки MN и EF пересекаются в точке О, а продолжения боковых сторон трапеции АВ и CD – в точке К.

Требуется найти основания трапеции AD и BC. Так как треугольник MKN является прямоугольным, то его медиана KO равна половине гипотенузы MN, т.е. KO=MN:2=15:2=7,5. Так как MN – средняя линия трапеции, то она делит пополам и отрезок EF, поэтому, EO=EF:2=8:2=4. Отрезок KE=KO-EO=7,5-4=3,5, тогда KF=EF+KE=8+3,5=11,5. Так как треугольник АКD является прямоугольным, то KF – медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы  AD. Так как KF =11,5, то AD=2KF=211,5=23. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, следовательно, AD+BC=2MN=215=30, и ВС=30-AD=30-23=7. Ответ: основания трапеции AD=23, BC=7.

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (21, 22, 23)-алгебра

Часть 2. Модуль «Алгебра».

21. Найдите значение выражения

2015-03-24_112531

Решение. Замечаем, что к числителю дроби можно применить формулу разности квадратов двух выражений:

a2-b2 =(a-b)(a+b). Действительно:

2015-03-24_112625

Подставляем данное значение суммы радикалов и получаем 4 3 = 12. Ответ: 12.

22. Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 3 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,6 км/ч, а другой – со скоростью 3,9 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

15-01-22Решение. Пусть их встреча произойдет на расстоянии х от точки отправления. Второй человек прошел 3 км до опушки леса. Затем он пошёл обратно и встретился с первым в х километрах от точки отправления. Это значит, что второй прошел еще (3-х) км, т.е всего второй человек прошел 3+3-х=6-х километров. Так как время равно пути, деленному на скорость (t = S : v), то второй человек, скорость которого 3,9 км/ч, прошел до встречи весь свой путь длиной (6-х) километров за

2015-03-24_112654

Но ведь оба путника вышли одновременно, значит, и первый (он прошёл х км) затратил на свой путь до встречи

2015-03-24_112654

А так как первый человек шёл со скоростью 2,6 км/ч, то по формуле S=v t выразим пройденное им расстояние:

2015-03-24_112819

Умножим обе части равенства на 3:

3х = 2 (6-х). Раскрываем скобки в правой части равенства:  3х = 12-2х. Преобразуем равенство к виду: 3х+2х=12, тогда 5х=12. Отсюда х=12 : 5; х=2,4. На расстоянии 2,4 км от точки отправления произойдет встреча. Ответ: 2,4.

23. Постройте график функции

2015-03-24_112845

и определите, при каких значениях  m прямая у = m  имеет с графиком ровно две общие точки.

15-01-23Решение. Парабола у = -х2-4х-1 имеет вершину в точке О’(m; n), где m = -b/(2a); n=y(m).

m = -b : (2a) = 4 : (-2) = -2; n = y(m) = y(-2) = -(-2)2 -4 (-2)-1= -4+8-1=3. Итак, вершина параболы находится в точке O’(-2; 3). Ветви параболы направлены вниз. График получается из графика функции у = -х2 параллельным переносом на 2 единичных отрезка влево и на 3 единичных отрезка вверх и согласно условию расположен правее прямой х=-3. Левее этой прямой будет лежать график прямой у = -х-1, который построим по двум точкам, взяв любые значения переменной х и вычислив соответствующие им значения функции у. Таким образом график данной функции представляет собой объединение прямой и части параболы. Ответим на вопрос: при каких значениях  m прямая у = m  имеет с графиком ровно две общие точки. Так как прямая у = m  проходит параллельно оси Ох, то мы должны расположить ее так, чтобы она пересекла наш график ровно в двух точках. Очевидно, что искомые прямые – это у=2 и у=3. Ответ: 2; 3.

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (14-20)-реальная математика

14. При классификации яиц их относят к той или иной категории в зависимости от их массы:

Третья категория (3) – от 35 до 44,9 г

Вторая категория (2) – от 45 до 54,9 г

Первая категория (1) – от 55 до 64,9 г

Отборное яйцо (О) – от 65 до 74,9 г

Высшая категория (В) – 75 г и более. К какой категории относится яйцо массой 63,1 г?

Понятно, что 63,1 г будет относиться к первой категории, а первая категория в представленных ответах записана под номером 2). Ответ: 2.

15. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры ы градусах Цельсия. Сколько часов в первой половине дня температура превышала 24°С?

15-01-15

Первой половиной дня считается время до полудня, т.е. до 12 часов дня. С 9 часов утра и до 12 часов дня температура была выше 24°С. Таким образом всего 3 часа в первой половине дня температура превышала 24°С. Ответ: 3.

16. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3 : 2. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 56 млн руб. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Итак, прибыль составляет 56 миллионов рублей, из которых 3 части этой прибыли получает государство и 2 части – частные акционеры. Если одну часть обозначить через х, то получаем равенство:

3х + 2х = 56. Отсюда 5х=56. Делим обе части равенства на коэффициент при х, т.е. на 5 и получаем

х=11,2. Частные акционеры получат две такие части, умножаем 11,2 на 2 и получаем 22,4 млн руб.

Ответ: 22400000.

17. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 9 м и 10 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?

Площадь одной дощечки Sд = ab =10 см 20 см = 200 см2. Найдем и площадь пола в квадратных сантиметрах.

Sп = 9 м 10 м = 900 см 1000 см = 900000 см2. Разделим площадь пола на площадь одной дощечки и узнаем, сколько же потребуется этих дощечек.

900000 : 200 = 9000 : 2 = 4500 дощечек. Ответ: 4500.

18. В городе из учебных заведений имеются школы, колледжи, училища и институты. Данные представлены на круговой диаграмме. Какое из утверждений относительно количества учебных заведений разных видов верно, если всего в городе 45 учебных заведений?

1) В городе более 30 школ.

2) В городе более трети всех учебных заведений – институты.

3) В городе школ, колледжей и училищ более 15/16 всех учебных заведений.

4) В городе примерно четверть всех учебных заведений – училища.

15-01-18В круговой диаграмме центральный угол каждого сектора отражает количество рассматриваемых величин. В данном случае 360° соответствуют 45 учебным заведениям. Получается, что одно учебное заведение можно представить в виде кругового сектора, центральный угол которого равен 360° : 45 = 8°.

Читаем утверждение 1) В городе более 30 школ. Если это верно, то белый сектор должен соответствовать центральному углу более 8° ∙ 30 = 240°. Но весь закрашенный сектор (колледжи, училища и институты) имеет угол более 150° (измерьте транспортиром), следовательно, на школы приходится самое большее 360° — 150° = 210° < 240°. Таким образом утверждение 1) неверно.

Утверждение 2) В городе более трети всех учебных заведений – институты также неверно, так как треть учебных заведений должна была бы соответствовать трети круга, т.е. 360° : 3 = 120° — это тупой угол, а на диаграмме сектор институтов соответствует центральному углу 50°. Таким, образом, утверждение 2) также неверно.

Утверждение 3) В городе школ, колледжей и училищ более 15/16 всех учебных заведений говорит о том, что институтов 1 – 15/16 = 1/16 части всех учебных заведений. В круге это одна шестнадцатая часть от 360°, т.е. 22,5° а у нас центральный угол сектора институтов 50°, т.е более 1/16 части всех учебных заведений. А это означает, что школы, колледжи и училища не могут содержать более 15/16 всех учебных заведений, т.е. что утверждение 3) неверно.

Следовательно, верным будет утверждение 4) В городе примерно четверть всех учебных заведений – училища. На самом деле: центральный угол сектора училищ содержит 83°, а это близко к четверти круга – к  90°. Ответ: 4.

19. На тарелке  15 пирожков: 3 с мясом, 9 с капустой и 3 с вишней. Рома наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Пусть А – событие, состоящее в том, что выбранный Ромой пирожок окажется с вишней.

Тогда число благоприятствующих событию А исходов m = 3. На самом деле, ведь всего 3 пирожка с вишней.

Число всех возможных исходов n = 15. Вероятность наступления события А:

2015-03-23_085940

 Ответ: 0,2.

20. Закон всемирного тяготения можно записать в виде:

2015-03-23_090038

где F – сила притяжения между телами (в ньютонах), m1 и m2 – массы тел (в килограммах),  r – расстояние между центрами масс тел (в метрах), а γ – гравитационная постоянная, равная 6,67 10-11 Н м2/кг2. Пользуясь этой формулой, найдите массу тела m1 (в килограммах), если  F = 33,35Н, m2 = 5 108 кг, а r = 2 м.

Просто подставим данные значения величин в формулу.

2015-03-23_090114

Разделим обе части равенства на 6,67 и запишем произведение 10-11 108 в виде 10-3. Получим:

2015-03-23_090143

Получаем: 4 = m1 10-3, отсюда m1 = 4 : 10-3 = 4 103 = 4000.  Ответ: 4000.

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (9-13)-геометрия

Модуль «Геометрия».

9. В треугольнике АВС угол С равен 90°,

15-01-9

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению катета к косинусу прилежащего угла, т.е. AB=AC : cosA.

Косинус угла А найдем, используя основное тригонометрическое тождество: sin2α+cos2α=1. Тогда

2015-03-16_062742

10. В треугольнике АВС угол С равен 90°,15-01-10

2015-03-16_061545

Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Гипотенузу найдем по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: АВ2=АС2+ВС2.

АВ2 = 82 + 82 15 = 82 (1 + 15) = 82 16. Тогда АВ = 8 4 = 32. Искомый радиус ОА равен половине АВ. Получаем ОА = 16.

11. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

15-01-11Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований трапеции на её высоту. Все нужные величины нам известны: нижнее основание равно 9+4=13; верхнее основание равно 20, высота трапеции равна 12.  Находим искомую площадь трапеции.

 

 

12. На клетчатой бумаге изображён угол. Найдите его градусную меру.

15-01-12Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. По клеточкам видно, что дуга, на которую опирается угол α составляет одну третью часть полуокружности, т.е. 60° (третья часть от 180°). Следовательно, угол α=30°.

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Через любую точку проходит не менее одной прямой. Да, это так (смотрите рисунок: через точку А можно провести сколько угодно прямых).

2) Сумма смежных углов равна 90°. Ну, конечно, нет – сумма смежных углов равна 180° (смотрите рисунок: углы 1 и 2 –смежные).

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. Это верно на основании признака параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых a и b секущей соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны. (смотрите рисунок).

Итак, верны утверждения 1) и 3). Ответ: 13.

15-01-13

ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01(1-8)-алгебра

Вариант 1. Модуль «Алгебра».

1. Найдите значение выражения 0,007 · 70 · 700.

Чтобы перемножить десятичную дробь на натуральное число нужно умножать, не обращая внимания на запятую, а в полученном результате отделить справа запятой столько знаков, сколько их стоит после запятой в десятичной дроби. Получается, что нужно умножить 7 на 70 и на 700, а затем отделить запятой 3 цифры справа. Понимаем, что просто «уйдут» 3 нуля, и просто находим 7 · 7 · 7 = 343.

2. На координатной прямой отмечены числа a и b.

oge15-01-2

Какое из следующих утверждений является неверным? 1) (a-b)·a>0; 2) a-b<0; 3) ab2<0; 4) ab>0.

Итак, а – отрицательное число, b – положительное число.  Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.

Если верный ответ: 4) утверждение является неверным, для вас не очевиден, то возьмите числовые значения а и b, да подставьте в каждое из 4-х утверждений.

2015-03-11_202838

4. Решите уравнение (х+10)2=(2-х)2.

Можно, конечно, раскрыть скобки, упростить полученное выражение…, но лучше рассуждать так: если равны квадраты двучленов, то это возможно в случае: 1) х+10=2-х или 2) х+10=х-2. Так как во втором случае получается неверное равенство 10=-2, то решаем 1) х+10=2-х. Получаем: 2х=-8, отсюда х=-4.

5. На рисунке изображены графики вида y=kx+b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.

КОФФИЦИЕНТЫ. А) k>0, b<0; Б) k<0, b>0; В) k<0, b<0.

ГРАФИКИ.

oge15-01-5

k – угловой коэффициент прямой. Если k>0, то прямая образует с положительным направлением оси Ох острый угол; если k<0, то прямая образует с положительным направлением оси Ох тупой угол.

b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Случай А) k>0, b<0 иллюстрирует 4-й график; случай Б) k<0, b>0 — 1-й график; случай В) k<0, b<0 — 2-й график. Ответ: 412.

6. Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен -3, b1=-6. Найдите b5.

Используем формулу общего члена геометрической прогрессии:

bn=b1 qn-1. Тогда  b5 = b1 q4 = -6 (-3)4 = -6 81= -486.

2015-03-11_203421

при а= -60, х=12. Упростим данное выражение:

2015-03-11_203631

Подставляем данные: а : х = -60 : 12= -5.

8. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) х2+6х-51>0; 2) x2+6×-51<0; 3) x2+6x+51>0; 4) x2+6x+51<0.

Каждый из графиков: у=х2+6х-51 и у=x2+6x+51 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Следовательно, ищем параболу, которая не пересечет ось Ох (дискриминант соответствующего квадратного уравнения меньше нуля). Это парабола у=x2+6x+51 (D=b2-4ac=62-451=36-204<0) Все точки этой параболы лежат выше оси Ох, т.е. при любом значении х значения выражения  x2+6x+51 положительны. Так как мы ищем неравенство, которое не имеет решений, то решений не имеет неравенство 4) x2+6x+51<0.

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост