ЕГЭ ФИПИ-2015, задача 16 (вариант 18)

Вариант 18   Приобрести сборник решений всех 36 вариантов задачи № 16

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1.

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.

б) Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.

Решение.

ege15-var18-16Проведем ВМ⊥AS и точку М соединим с точкой D. Так как в равностороннем ∆SAB высота ВМ также является медианой, то медиана MD в равносторонем ∆SAD также является и высотой. Прямая AS, перпендикулярная двум пересекающимся в точке М прямым, лежащим в плоскости BMD, будет перпендикулярна и самой плоскости BMD. Так как MD – общая прямая плоскости BMD и плоскости SAD, то это и есть прямая пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.

Угол между плоскостью SAD и плоскостью BMD должен быть образован двумя полупрямыми, перпендикулярными MD – прямой пересечения плоскостей. В плоскости SAD AM⊥MD (MD – высота), АМ=1/2 (помним, что все ребра данной пирамиды равны 1).  В плоскости BMD проведем перпендикуляр KM⊥MD и выясним положение точки К на диагонали BD квадратаABCD. ∠АМК – искомый, обозначим его через φ.

Рассмотрим равнобедренный ∆BMD.

ege15-var18-16aМО – высота и медиана этого равнобедренного треугольника, а также МО — средняя линия ∆SAC, поэтому MO= 1/2 (все ребра пирамиды равны 1).

В прямоугольном ∆MОD обозначим ∠ODM через α.

2015-06-01_133003

Из прямоугольного ∆KMD найдем

2015-06-01_132338

Из прямоугольного ∆АОК (диагонали квадрата пересекаются под прямым углом) по теореме Пифагора имеем:

2015-06-01_132415

Из ∆АМК по теореме косинусов найдем косинус искомого ∠АМК = φ.

2015-06-01_132627

Так как cosφ = 0, то ∠АМК = φ = 900, и это означает, что угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS – прямой.

Ответ: 90.

Навигация
Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост