ЕГЭ ФИПИ-2015, задача 16 (варианты 05, 06, 07)

Вариант 5 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С1 и F.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой C1F.

Решение. Сечение – четырехугольник BC1E1F с диагональю C1F.

2015-05-14_131952

2015-05-14_132217Сторону BF найдем из ∆АBF по теореме косинусов:

BF2=AB2+AF2-2ABAFcos∠BAF;

BF2=AB2+AF2-2ABAFcos1200 = 3. Тогда

2015-05-14_132059

Так как ∠CBF=90°, то на основании теоремы о трех перпендикулярах, BF⟘BC1. Это означает, что сечение BC1E1F – прямоугольник. Диагональ прямоугольника C1F2=BF2+BC12; C1F2=3+2=5.

2015-05-14_132119

 

BKискомое расстояние от точки В до прямой C1F.

Найдем ВК как высоту из ∆FBС1,  используя формулу площади треугольника.

2015-05-14_132154

Вариант 6

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=1:2.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей  ABC и BED1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

Решение. D1Е и АD пересекаются в точке, которая принадлежит плоскости (АВС).

Следовательно, прямая пересечения — МВ.

prizmi5-var6

Проведем EN⊥MB и соединим точку А с точкой N. По обратной ТТП АN⊥MB и ∠ANEлинейный угол между плоскостями АВС и BED1.

Найдем тангенс этого угла.

2015-05-14_135012

Из подобия прямоугольных треугольников MDD1 и MAE следует:

2015-05-14_134126

Значит, MA = 1. Из прямоугольного ∆MAB по теореме Пифагора:

 2015-05-14_134309

Вариант 7

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD – квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 12. На ребре SA отмечена точка М так, что SM=6.

а) Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость BCM.

б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости BCM.

Решение. Конечно же вы поняли, что это та же задача № 16 из варианта 1. Чтобы построить перпендикуляр из точки S на плоскость BCM, нужно построить эту плоскость ВСМ, затем понять, как проводить этот перпендикуляр. Все рассуждения смотрите в задаче варианта 1. Чертеж получится тот же. А расчеты будем проводить согласно данным из условия настоящей задачи.

ege15-1-16s

Этапы построения: рисунки 1 и 2.

Смотрим рисунок 3.

2015-05-14_142102

Рассмотрим ∆MAB и применим теорему косинусов:

МВ2 = АВ2+ АМ2-2АВАМcosφ;

2015-05-14_142211

Рассмотрим трапецию BMNC (рис. 4).

2015-05-14_142300

Из прямоугольного треугольника ВРМ по теореме Пифагора:

2015-05-14_142353

Смотрим рисунок 2. Рассмотрим ∆SKF.

2015-05-14_142652

Так как cosα < 0, то угол α – тупой.

Проводим ST⊥KF.

ege15-1-16ssТак как угол α – тупой, то ST лежит вне треугольника SKF.

Из ∆SKT   ST = SK sin(1800-α); ST = SK sinα.

Зная косинус α, найдем синус α.

2015-05-14_142823

 

Навигация
Сайт размещается на хостинге Спринтхост