ЕГЭ ФИПИ-2015, задача 16 (варианты 05, 06, 07)

Вариант 5 

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С₁ и F.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой C₁F.

Решение. Сечение – четырехугольник BC₁E₁F с диагональю C₁F.

Сторону BF найдем из ∆АBF по теореме косинусов:

BF²=AB²+AF²-2∙AB∙AF∙ cos∠BAF;

BF²=AB²+AF²-2∙AB∙AF∙cos120⁰ = 3. Тогда

Так как ∠CBF=90°, то на основании теоремы о трех перпендикулярах, BF⟘BC₁. Это означает, что сечение BC₁E₁F – прямоугольник. Диагональ прямоугольника C₁F²=BF²+BC₁²; C₁F²=3+2=5.

BK – искомое расстояние от точки В до прямой C₁F.

Найдем ВК как высоту из ∆FBС₁,  используя формулу площади треугольника.

Вариант 6

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁=1:2.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей  ABC и BED₁.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Решение. D₁Е и АD пересекаются в точке, которая принадлежит плоскости (АВС).

Следовательно, прямая пересечения — МВ.

Проведем EN⊥MB и соединим точку А с точкой N. По обратной ТТП АN⊥MB и ∠ANE – линейный угол между плоскостями АВС и BED₁.

Найдем тангенс этого угла.

Из подобия прямоугольных треугольников MDD₁ и MAE следует:

Значит, MA = 1. Из прямоугольного ∆MAB по теореме Пифагора:

Вариант 7

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD – квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 12. На ребре SA отмечена точка М так, что SM=6.

а) Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость BCM.

б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости BCM.

Решение. Конечно же вы поняли, что это та же задача № 16 из варианта 1. Чтобы построить перпендикуляр из точки S на плоскость BCM, нужно построить эту плоскость ВСМ, затем понять, как проводить этот перпендикуляр. Все рассуждения смотрите в задаче варианта 1. Чертеж получится тот же. А расчеты будем проводить согласно данным из условия настоящей задачи.

Этапы построения: рисунки 1 и 2.

Смотрим рисунок 3.

Рассмотрим ∆MAB и применим теорему косинусов:

МВ² = АВ²+ АМ²-2∙АВ∙АМ∙cosφ;

Рассмотрим трапецию BMNC (рис. 4).

Из прямоугольного треугольника ВРМ по теореме Пифагора:

Смотрим рисунок 2. Рассмотрим ∆SKF.

Так как cosα < 0, то угол α – тупой.

Проводим ST⊥KF.

Так как угол α – тупой, то ST лежит вне треугольника SKF.

Из ∆SKT   ST = SK ∙ sin(180⁰-α); ST = SK ∙ sinα.

Зная косинус α, найдем синус α.