ЕГЭ ФИПИ-2015, задача 16 (варианты 05, 06, 07)
Вариант 5
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С1 и F.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой C1F.
Решение. Сечение – четырехугольник BC1E1F с диагональю C1F.
Сторону BF найдем из ∆АBF по теореме косинусов:
BF2=AB2+AF2-2∙AB∙AF∙ cos∠BAF;
BF2=AB2+AF2-2∙AB∙AF∙cos1200 = 3. Тогда
Так как ∠CBF=90°, то на основании теоремы о трех перпендикулярах, BF⟘BC1. Это означает, что сечение BC1E1F – прямоугольник. Диагональ прямоугольника C1F2=BF2+BC12; C1F2=3+2=5.
BK – искомое расстояние от точки В до прямой C1F.
Найдем ВК как высоту из ∆FBС1, используя формулу площади треугольника.
Вариант 6
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=1:2.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
Решение. D1Е и АD пересекаются в точке, которая принадлежит плоскости (АВС).
Следовательно, прямая пересечения — МВ.
Проведем EN⊥MB и соединим точку А с точкой N. По обратной ТТП АN⊥MB и ∠ANE – линейный угол между плоскостями АВС и BED1.
Найдем тангенс этого угла.
Из подобия прямоугольных треугольников MDD1 и MAE следует:
Значит, MA = 1. Из прямоугольного ∆MAB по теореме Пифагора:
Вариант 7
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD – квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 12. На ребре SA отмечена точка М так, что SM=6.
а) Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость BCM.
б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости BCM.
Решение. Конечно же вы поняли, что это та же задача № 16 из варианта 1. Чтобы построить перпендикуляр из точки S на плоскость BCM, нужно построить эту плоскость ВСМ, затем понять, как проводить этот перпендикуляр. Все рассуждения смотрите в задаче варианта 1. Чертеж получится тот же. А расчеты будем проводить согласно данным из условия настоящей задачи.
Этапы построения: рисунки 1 и 2.
Смотрим рисунок 3.
Рассмотрим ∆MAB и применим теорему косинусов:
МВ2 = АВ2+ АМ2-2∙АВ∙АМ∙cosφ;
Рассмотрим трапецию BMNC (рис. 4).
Из прямоугольного треугольника ВРМ по теореме Пифагора:
Смотрим рисунок 2. Рассмотрим ∆SKF.
Так как cosα < 0, то угол α – тупой.
Проводим ST⊥KF.
Так как угол α – тупой, то ST лежит вне треугольника SKF.
Из ∆SKT ST = SK ∙ sin(1800-α); ST = SK ∙ sinα.
Зная косинус α, найдем синус α.
