ЕГЭ ФИПИ-2015, задача 16 (варианты 08, 09, 10)

Вариант 8  

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=1:3.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

prizmi6-var8Решение. Соединим точки В и Е, Е и D1, D1 и В. Плоскость (BED1) пересечет плоскость основания по прямой, проходящей через точку В и точку Кпересечения прямых D1E и AD.

ВКпрямая пересечения плоскостей АВС и BED1.

Проведем DF⊥BK и точку F соединим с точкой D1. По ТТП  D1F⊥BK .

∠ DFD1линейный угол между плоскостями (АВС) и (BED1).

2015-05-16_121831

Определим DF, которая является высотой ∆BDK .

2015-05-16_121932

Из подобия ∆D1KD иEKA имеем:

2015-05-16_122017

Из прямоугольного ∆ВАК по теореме Пифагора:

2015-05-16_122108

Вариант 9

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D – середина ребра СС1.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB1.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB1.

prizmi7-var9Решение. Секущая плоскость ADB1 имеет с основанием общую точку А, следовательно пересекает (АВС) по прямой, проходящей через точку А. Определим еще одну точку этой прямой. Продолжим сторону основания ВС до пересечения с прямой B1D и получим точку К – общую для (АВС) и (АDВ1). Следовательно прямая пересечения этих плоскостей – это прямая АК.

2015-05-16_122943

Обозначим СК  через х.

2015-05-16_123009

∆АСК – равнобедренный, так как СК = AC = 5.  ACK = 1800-600=1200

2015-05-16_123039

Так как АК⊥АВ, то AB1⊥АК по ТТП. Таким образом, искомый угол В1АВ – угол между полупрямыми, перпендикулярными АС – общей прямой плоскостей АВС и ADB1.

Из ∆АВВ1 получаем:

2015-05-16_123116

Вариант 10

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D – середина ребра СС1.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB1.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB1.

prizmi7-var9Решение. Боковая грань СС1В1В пересекается с плоскостью основаниями по прямой ВС а с плоскостью АDВ1 по прямой В1D, и точка К лежит на этой прямой:

Кϵ (АDВ1), Кϵ (АВС), Кϵ(СС1В1В).

Таким образом плоскости АВС и АDВ1 имеют 2 общие точки А и К, следовательно, пересекаются по прямой АК.

2015-05-16_123755

Обозначим СК через х. Получаем равенство:

2015-05-16_123824

АСК – равнобедренный.

2015-05-16_123848

Получается, что ВАК – прямоугольный (∠ВАК=900)

Итак, АК⊥АВ, значит, по ТТП АВ1⊥АК, и угол В1АВ – линейный угол двугранного угла с общим ребром АК, т.е. угол между  плоскостями АВС и ADB1.

2015-05-16_123920

 

Навигация
Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост