ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17 (варианты № 31 и № 32)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 31.

Задача. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных ₁, ₂, ₃, … , _n, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:

Если Тимофей погасит кредит S = 7007000 за 2 равных  платежа по Х рублей каждый, после начисления  r = 20% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получаем равенство:

Умножим обе части равенства на 1,2².

7007000 ∙ 1,2² = 1,2Х + Х;

7007000 ∙ 1,44 = 2,2Х.

Разделим обе части равенства на 2,2.

3185000 ∙ 1,44 = Х.

Х = 4586400 рублей.

Таким образом, если бы Тимофей погасил кредит за два года равными платежами по 4586400 рублей, то заплатил бы 4586400 ∙ 2 = 9172800 рублей.

Если Тимофей погасит кредит S = 7007000 за 3 равных  платежа по У рублей каждый, после начисления  r = 20% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга, то получаем равенство:

Умножим обе части равенства на 1,2³.

7007000 ∙ 1,2³ = 1,2² ∙ У + 1,2У + У;

7007000 ∙ 1,728 = 1,44У + 1,2У + У;

7007000 ∙ 1,728 = 3,64У. Разделим обе части равенства на 3,64.

1925000 ∙ 1,728 = У   →   У = 3326400 рублей.

Если Тимофей погасит кредит за 3 равных платежа по 3326400 рублей

то заплатит 3326400 ∙ 3 = 9979200 рублей.

Разница бы составила 9979200 — 9172800 = 806400 рублей.

Ответ: 806400.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 32.

Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 7 месяцев. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на четвёртый месяц кредитования нужно выплатить 54тыс. рублей.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда за четвёртый месяц кредитования нужно выплатить х + 3х ∙ 0,02. Зная, что эта сумма составляет 54000 рублей, составим уравнение:

х + 4х ∙ 0,02 = 54000;

х + 0,08х = 54000;  1,08х = 54000;   х = 54000 : 1,08;  х = 50000 рублей составит ежемесячный платёж (без процентов).

За всё время кредитования нужно вернуть банку

7х + (7х + 6х + 5х + 4х + 3х + 2х + х) ∙ 0,02 = 7х +  ∙ 7 ∙ 0,02 =

= 7х + 4х ∙ 7 ∙ 0,02 = 7х + 0,56х = 7,56х = 7,56 ∙ 50000 = 378000 рублей.

Ответ: 378000.