ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 17 (варианты № 33 и № 34)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 33.

Задача. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих,  каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Пусть z рабочих первой области добывают алюминий. Тогда (20-z) человек добывают никель. Один рабочий первой области добывает в час 1 кг алюминия или 2 кг никеля. За рабочий день (5 часов) один рабочий добывает 5 кг алюминия или 10 кг никеля. Тогда z рабочих добудут 5z кг алюминия, а (20-z) рабочих добудут 10(20-z) кг никеля.

Пусть t рабочих второй шахты добывают алюминий, тогда (100-t) рабочих добывают никель. Так как эти рабочие трудятся по 5 часов и за один час добывают 2 кг алюминия или 1 кг никеля, то ежедневная добыча составляет 10t кг алюминия и 5(100-t) кг никеля.

Таким образом, обе шахты ежедневно добывают (5z + 10t) кг алюминия и           10(20-z) + 5(100 t) = 200-10z + 500-5t = (700-10z-5t) кг никеля.

На заводе производят сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Получаем равенство: 5z + 10t = 2(700-10z-5t);

5z + 10t = 1400-20z-10t;

25z + 20t = 1400. Делим обе части равенства на 5.

5z + 4t = 280.

Рассуждаем: алюминия для сплава нужно вдвое больше, чем никеля. В первой шахте трудится в 5 раз меньше людей, и каждый из них добывает алюминия вдвое меньше, чем рабочий второй шахты, при этом в сплаве должно быть вдвое больше алюминия, поэтому в интересах производства нужно или всех рабочих первой шахты занять добычей алюминия или максимально большее число рабочих второй шахты поставить на добычу алюминия, т.е. взять z = 20 или z = 0.

1) Если z = 20. Отсюда

4t = 280-5 20   →   4t = 180   →   t = 45.

Алюминия добывается  5z + 10t = 5 20 + 10 45 = 100 + 450 = 550 кг ежедневно.

Никеля добывается 700-10z-5t = 700-10 20-5 45 = 700-200-225 = 275 кг ежедневно. Всего масса сплава составит 550 + 275 = 825 кг.

2) Если z = 0, то 4t = 280   →  t = 280 : 4     →   t = 70.

Алюминия добывается  5z + 10t = 5 0 + 10 70 = 700 кг ежедневно.

Никеля добывается 700-10z-5t = 700-10 0-5 70 = 700-350 = 350 кг ежедневно. Всего масса сплава составит 700 + 350 = 1050 кг. Это наибольшее возможное количество сплава.

Ответ: 1050.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача №17, вариант 34.

Задача. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих,  каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Пусть z рабочих первой области добывают алюминий. Тогда (60-z) человек добывают никель. Один рабочий первой области добывает в час 2 кг алюминия или 3 кг никеля. За рабочий день (5 часов) один рабочий добывает 10 кг алюминия или 15 кг никеля. Тогда z рабочих добудут 10z кг алюминия, а (60-z) рабочих добудут 15(60-z) кг никеля.

Пусть t рабочих второй шахты добывают алюминий, тогда (260-t) рабочих добывают никель. Так как эти рабочие трудятся по 5 часов и за один час добывают 3 кг алюминия или 2 кг никеля, то ежедневная добыча составляет 15t кг алюминия и 10(260-t) кг никеля.

Таким образом, обе шахты ежедневно добывают (10z + 15t) кг алюминия и           15(60-z) + 10(260-t) = 900-15z + 2600-10t = (3500-15z-10t) кг никеля.

На заводе производят сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Получаем равенство: 10z + 15t = 2(3500-15z-10t);

10z + 15t = 7000-30z-20t;

40z + 35t = 7000. Делим обе части равенства на 5.

8z + 7t = 1400.

Если всех рабочих первой шахты занять добычей никеля, то можно больше рабочих второй шахты поставить на добычу алюминия, ведь там выработка алюминия больше.

Итак, если z = 0, то 7t = 1400  →   t = 200. Тогда суммарная добыча алюминия составит 15t = 15 200 = 3000 кг, а никеля 3500-2000 = 1500 кг. Тогда завод сможет произвести 3000 + 1500 = 4500 кг сплава.

В ответе 2250 кг. Это повод, чтобы ещё раз всё проверить. Итак, в первой шахте работают 60 человек, и всех их мы поставили на добычу никеля. Так как один человек в первой шахте в час добывает 3 кг никеля, а за день (5 часов) – 15 кг, то все 60 рабочих первой шахты ежедневно добудут 15 60 = 900 кг никеля.

Далее, 200 рабочих второй шахты добывают алюминий. Так как один человек за один час добывает 3 кг алюминия, то за рабочий день (5 часов) он добудет 15 кг алюминия, а 200 человек ежедневно добудут 15 200 = 3000 кг алюминия. Во второй шахте остальные 60 человек добывают никель. Так как один человек второй шахты за один час добывает 2 кг никеля, то за рабочий день (5 часов) он добудет 10 кг никеля, а 60 рабочих добудут за день 10 60 = 600 кг никеля.

Суммарно обе шахты добудут 3000 кг алюминия и 900 + 600 = 1500 кг никеля. Мы видим, что отношение количества алюминия к количеству никеля в сплаве соответствует отношению 2 : 1, и это соответствует условию.

Вывод: мы всё решили верно, и наибольшая возможная масса сплава, которую может ежедневно произвести завод, равна 4500 кг.

Ответ: 4500.

Навигация

Предыдущая статья: ←

Сайт размещается на хостинге Спринтхост