ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (варианты № 33 и № 34)
ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 33)
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. ОДЗ: -2 ≤ х < 6. Рассмотрим первое уравнение системы. Данная дробь будет равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель нет.
Тогда из второго уравнения системы у = а-х, отсюда у = а + 2. Итак, одно решение системы уже имеется. А сколько решения вообще может иметь данная система?
2) у2-ху + 3х-у-6 = 0. ( * )
Выразим х через у из второго уравнения системы. Получим: х = а-у. Подставим это выражение вместо х в уравнение ( * ).
у2-(а-у)у + 3(а-у)-у-6 = 0;
у2-ау + у2 + 3а-3у-у-6 = 0;
2у2-4у-ау + 3а-6 = 0;
2у2-(4 + а)у + 3а-6 = 0. Находим дискриминант
D = (4 + a)2-4 ∙ 2 ∙ (3a-6) = 16 + 8a + a2-24a + 48 = a2-16a + 64 = (a-8)2 ≥ 0.
Дискриминант D = (a — 8)2 = 0 при а = 8. Подставляем а = 8 и получаем:
2у2-(4 + 8)у + 3 ∙ 8-6 = 0 → 2у2-12у + 18 = 0 → у2-6у + 9 = 0 → → (у-3)2 = 0 → у = 3.
Находим х = 8-3 = 5. Это значение удовлетворяет ОДЗ. Мы нашли решение системы: (5; 3), которое соответствует значению а = 8. У нас уже два решения системы.
3) Поищем другие решения системы. Разложим многочлен в левой части равенства ( * ) на множители.
у2-ху + 3х-у-6 = (у2-у-6)-(ху-3х) = (у + 2)(у-3)-х(у-3) = (у-3)(у + 2-х).
Решаем уравнение:
(у-3)(у + 2-х) = 0. Отсюда у-3 = 0 или у + 2-х = 0.
Тогда в первом случае у = 3, и этот случай (при а = 8) мы рассмотрели выше. При этом, подставляя у = 3 во второе уравнение системы, получаем х-3 + а = 0.
Отсюда х = а-3. Учтём ОДЗ и получим двойное неравенство:
-2 ≤ а-3 < 6;
1 ≤ а < 9. Итак, при а ∈ [1; 9) данная система имеет два решения.
Во втором случае у + 2-х = 0. Отсюда у = х-2.
Выразим у из уравнения х + у-а = 0. Получаем у = а-х. Левые части равенств равны – будут равны и правые части.
х-2 = а-х → 2х = а + 2
Третье решение система принимает при а ∈ [-6; 10).
Обращаем внимание на то, что в промежуток [1; 9) входит значение а = 8, при котором система имеет решение (5; 3), а сам промежуток [1; 9) входит в промежуток [-6; 10). Из этого следует, что если мы возьмём значение а = 8 и те значения а из промежутка [-6; 10), которые не входят в промежуток [1; 9). В этом случае данная система будет иметь ровно два решения.
Получаем:
а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.
Ответ: а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.
ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 34)
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(ах2-2х)2 + (а2-а + 2)(ах2-2х)-а2(а-2) = 0
имеет ровно два решения.
Решение. 1) Решим данное уравнение при а = 0.
(-2х)2 + 2 ∙ (-2х) = 0 → 4х2-4х = 0 → 4х(х-1) = 0.
Отсюда х = 0 или х-1 = 0 → х = 1.
Вывод: при а = 0 данное уравнение имеет ровно два решения: х = 0 и х = 1.
2) Сделаем замену: ах2-2х = у. Получаем:
у2 + (а2-а + 2)у-а2(а-2)) = 0.
Найдём дискриминант этого квадратного уравнения и упростим его.
D = (а2-а + 2)2-4 ∙ (-а2(а-2) = а4 + а2 + 4-2а3-4а + 4а2 + 4а3-8а2 =
= а4 + 2а3-3а2-4а + 4 = а4 + 2а3-2а2-4а-а2 + 4 = (а4 + 2а3)-(2а2 + 4а)-(а2-4) =
= а3(а + 2)-2а(а + 2)-(а + 2)(а-2) = (а + 2)(а3-2а-а + 2) =
= (а + 2)((а3-а)-(2а-2)) = (а + 2)(а(а2-1)-2(а-1)) =
= (а + 2)(а(а-1)(а + 1)-2(а-1)) = (а + 2)(а-1)(а(а + 1)-2) =
= (а + 2) (а-1)(а2 + а-2) = (а + 2)(а-1)(а + 2)(а-1) = (а + 2)2 ∙ (а-1)2 > 0 при любых значениях а, кроме а =-2 и а = 1.
3) Если D = 0, т.е. если а = -2 или а = 1, то, используя формулу для решения квадратного уравнения при D = 0:
Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у,
при а =-2 получаем -2х2-2х =-4 → х2 + х-2 = 0 → х1 =-2 и х2 = 1 (два корня);
при а = 1 получаем х2-2х = -1 → х2-2х + 1 = 0 → (х-1)2 = 0 → х = 1 (один корень).
Вывод: при а =-2 данное уравнение имеет ровно два решения: х =-2 и х = 1.
4) Если D > 0, т.е. если а ∈ (-∞ ; -2) ∪ (-2; 1) ∪ (1; +∞ ), то по формуле для корней квадратного уравнения
Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у, получаем:
ах2-2х =-а2 и ах2-2х = а-2.
4а) ах2-2х =-а2.
D1 = 1-a3 > 0 при a3 < 1 → a < 1 получаем два корня:
4б) ах2-2х-(а-2) = 0.
D1 = 1 + а(а-2) = 1 + а2-2а = а2-2а + 1 = (а-1)2 > 0 при любом а ≠ 1. Тогда получаем
Вывод: предполагая, что D > 0 мы получаем четыре решения. Исключим корни пункта 4а). Как? Эти решения получаются при условии а < 1, следовательно, если мы потребуем выполнения условия a > 1, то от четырёх корней останутся ровно два корня (из пункта 4б).
5) Итог: ровно два решения мы получим при а = 0 или при а =-2 или при а > 1.
Ответ: а =-2; а = 0; а ∈ (1; +∞).
