ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (варианты № 33 и № 34)

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 33)

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

2018-03-27_113214

 

 

 

имеет ровно два различных решения.

Решение. ОДЗ: -2 ≤ х < 6. Рассмотрим первое уравнение системы. Данная дробь будет равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель нет.

2018-03-27_113338

 

 

 

Тогда из второго уравнения системы у = а-х, отсюда   у = а + 2. Итак, одно решение системы уже имеется. А сколько решения вообще может иметь данная система?

2) у2-ху + 3х-у-6 = 0. ( * )

Выразим х через у из второго уравнения системы. Получим: х = а-у. Подставим это выражение вместо х в уравнение  ( * ).

у2-(а-у)у + 3(а-у)-у-6 = 0;

у2-ау + у2 + 3а-3у-у-6 = 0;

2-4у-ау + 3а-6 = 0;

2-(4 + а)у + 3а-6 = 0. Находим дискриминант

D = (4 + a)2-4 2 (3a-6) = 16 + 8a + a2-24a + 48 = a2-16a + 64 = (a-8)2 ≥ 0.

Дискриминант D = (a — 8)2 = 0 при а = 8. Подставляем а = 8 и получаем:

2-(4 + 8)у + 3 8-6 = 0     →    2у2-12у + 18 = 0     →    у2-6у + 9 = 0      →         →   (у-3)2 = 0   →   у = 3.

Находим х = 8-3 = 5.  Это значение удовлетворяет ОДЗ. Мы нашли решение системы: (5; 3), которое соответствует значению а = 8. У нас уже два решения системы.

3) Поищем другие решения системы. Разложим многочлен в левой части равенства ( * ) на множители.

у2-ху + 3х-у-6 = (у2-у-6)-(ху-3х) = (у + 2)(у-3)-х(у-3) = (у-3)(у + 2-х).

Решаем уравнение:

(у-3)(у + 2-х) = 0. Отсюда у-3 = 0 или у + 2-х = 0.

Тогда в первом случае у = 3, и этот случай (при а = 8) мы рассмотрели выше. При этом, подставляя у = 3 во второе уравнение системы, получаем х-3 + а = 0.

Отсюда х = а-3. Учтём ОДЗ и получим двойное неравенство:

-2 ≤ а-3 < 6;

1 ≤ а < 9. Итак, при а ∈ [1; 9) данная система имеет два решения.

Во втором случае у + 2-х = 0. Отсюда у = х-2.

Выразим у из уравнения х + у-а = 0. Получаем у = а-х. Левые части равенств равны – будут равны и правые части.

х-2 = а-х     →      2х = а + 2

2018-03-27_113421

 

 

 

Третье решение система принимает при  а ∈ [-6; 10).

Обращаем внимание на то, что в промежуток  [1; 9) входит значение а = 8, при котором система имеет решение (5; 3), а сам промежуток [1; 9) входит в промежуток [-6; 10).  Из этого следует, что если мы возьмём значение а = 8 и те значения а из промежутка [-6; 10), которые не входят в промежуток [1; 9). В этом случае данная система будет иметь ровно два решения.

2018-03-27_113443Получаем:

а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

 

Ответ: а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 34)

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

(ах2-2х)2 + (а2-а + 2)(ах2-2х)-а2(а-2) = 0

имеет ровно два решения.

Решение. 1) Решим данное уравнение при а = 0.

(-2х)2 + 2 (-2х) = 0     →     4х2-4х = 0   →   4х(х-1) = 0.

Отсюда х = 0 или х-1 = 0  →   х = 1.

Вывод: при а = 0 данное уравнение имеет ровно два решения: х = 0 и х = 1.

2) Сделаем замену: ах2-2х = у. Получаем:

у2 + (а2-а + 2)у-а2(а-2)) = 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения и упростим его.

D = (а2-а + 2)2-4 (-а2(а-2) = а4 + а2 + 4-2а3-4а + 4а2 + 4а3-8а2 =

= а4 + 2а3-3а2-4а + 4 = а4 + 2а3-2а2-4а-а2 + 4 = (а4 + 2а3)-(2а2 + 4а)-(а2-4) =

= а3(а + 2)-2а(а + 2)-(а + 2)(а-2) = (а + 2)(а3-2а-а + 2) =

= (а + 2)((а3-а)-(2а-2)) = (а + 2)(а(а2-1)-2(а-1)) =

= (а + 2)(а(а-1)(а + 1)-2(а-1)) = (а + 2)(а-1)(а(а + 1)-2) =

= (а + 2) (а-1)(а2 + а-2)  = (а + 2)(а-1)(а + 2)(а-1) = (а + 2)2 (а-1)2 > 0 при любых значениях а, кроме а =-2 и а = 1.

3) Если D = 0, т.е. если а = -2 или а = 1, то, используя формулу для решения квадратного уравнения при D = 0:

2018-03-27_113553

 

 

 

 

 

Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у,

при а =-2 получаем -2х2-2х =-4   →   х2 + х-2 = 0   →    х1 =-2 и х2 = 1 (два корня);

при а = 1 получаем  х2-2х = -1 →  х2-2х + 1 = 0  → (х-1)2 = 0  →  х = 1 (один корень).

Вывод: при а =-2  данное уравнение имеет ровно два решения: х =-2 и х = 1.

4) Если D > 0, т.е. если а ∈ (-∞ ; -2) ∪ (-2; 1) ∪ (1; +∞ ), то по формуле для корней квадратного уравнения

2018-03-27_113659

 

 

 

 

 

Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у, получаем:

ах2-2х =-а2  и  ах2-2х = а-2.

4а) ах2-2х =-а2.

D1 = 1-a3 > 0 при a3 < 1  →  a < 1 получаем два корня:

2018-03-27_113749

 

 

4б) ах2-2х-(а-2) = 0.

D1 = 1 + а(а-2) = 1 + а2-2а = а2-2а + 1 = (а-1)2 > 0 при любом а ≠ 1. Тогда получаем

2018-03-27_113836

 

 

Вывод: предполагая, что D > 0 мы получаем четыре решения. Исключим корни пункта 4а). Как? Эти решения получаются при условии а < 1, следовательно, если мы потребуем выполнения условия a  > 1, то от четырёх корней останутся ровно два корня (из пункта 4б).

5) Итог: ровно два решения мы получим при а = 0 или при а =-2 или при а > 1.

Ответ: а =-2; а = 0; а ∈ (1; +∞).

Навигация

Следующая статья:

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост