ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 25)

Вариант 25.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F – середина ребра АS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

Решение.

 2018-02-19_113733Построим плоскость BCF. Соединим точки B и F. Плоскость BCF пересекает плоскость основания и плоскость BSC по прямой ВС; а плоскость ASB по прямой BF.

Как она пересечет плоскость SAD? Прямая пересечения пройдет через точку F параллельно AD, и это отрезок FN. На самом деле, если бы прямая FN не была параллельна AD, то она бы пересекла прямую AD, и мы имели бы еще одну точку пересечения секущей плоскости с основанием. И эта точка должна была бы принадлежать ВС, но это невозможно, так как AD || BC.

Следовательно, FN || AD. Соединяем точки N и С.

Плоскость BCF – есть равнобокая трапеция BFNC и пересекает плоскость SAD по прямой FN.

Проведем SE⟘AD, тогда пусть точка пересечения SE и FN есть К.

Имеем:  КϵFN и SK⟘FN. Точку К соединим с серединой ВС – точкой М. КМ – ось симметрии равнобокой трапеции BFNC, поэтому KM⊥FN и KM⟘BC. (Можно использовать ТТП и показать, что KM⟘BC).

Таким образом, ∠SKM – линейный угол между плоскостями SAD и BCF.

Обозначим ∠SKM  через α.

Из треугольника SKM, применяя теорему косинусов, можем записать:

2018-02-19_113530

 

 

Рассмотрим грань SAD.

2018-02-19_113806∆ SAD – правильный, φ = 600.

SE – высота и медиана.

Так как по условию все ребра пирамиды равны 1, то SA=AD=SD=1.

Отсюда

2018-02-19_113917

 

 

 

 

В равностороннем ∆SAB отрезок BF является медианой и высотой, поэтому

2018-02-19_113940

 

 

2018-02-19_113820Рассмотрим равнобокую трапецию BFNC.

Проведем FP⟘BC.

2018-02-19_114030

 

 

 

 

Подставим все нужные данные в (*).

2018-02-19_114053

 

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост