ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 31)

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

2018-03-10_093057Решение.

Пусть дан конус с осевым сечением MAB, радиус основания AO=12, высота MO=5.

Найдем образующую конуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ. Катеты AO=12 и MO=5, следовательно, по теореме Пифагора

гипотенуза МА2 = АО2 + МО2 =122 + 52 = 144 + 25 = 169, отсюда МА=13 (запомните эту пифагорову «тройку»:  5; 12; 13).

а) Через вершину конуса М и две образующие MA и MC проходит сечение конуса АMC так, что MA⟘MC. Сечение представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник АМС, который пересекает основание конуса по прямой АС, причем АС — хорда окружности с центром в точке О и радиусом АО, является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника АМС, и равна

2018-03-10_093129

 

б) Найдем расстояние от плоскости АМС до точки О — центра основания конуса. Сделаем дополнительные построения.

Проведем радиус OD⟘AC.

Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

Точка К – середина АС. Соединим точки М и К. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АМС, МК — медиана, а значит, и высота.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.

2018-03-10_093151

 

Так как МК⟘АС и ОК⟘АС, то плоскость МОК перпендикулярна плоскости АМС, поэтому перпендикуляр, проведенный из точки О к МК будет расстоянием от точки О до плоскости АМС.

В прямоугольном треугольнике МОК мы знаем гипотенузу МК и катет МО.

Найдем второй катет ОК по теореме Пифагора.

2018-03-10_093218

 

 

Проведем OF⟘MK.

OF- искомый отрезок. OF — высота прямоугольного треугольника МОК, проведенная к гипотенузе МК.

Из подобия прямоугольных треугольников МОК и МFО (по углам) следует:

2018-03-10_093255

Навигация

Предыдущая статья: ←

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост