ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 32)

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

 2018-03-11_135008Решение.

а) В равностороннем треугольнике АВС, CD=BE=2 по условию, следовательно,

AD=AE=4. Треугольники ADE и ABC подобны по общему углу ВАС и соответственно пропорциональным сторонам этого угла:

2018-03-11_134937

 

 

Соответственные высоты этих подобных треугольников относятся друг к другу так же, т.е. АО : AF = 2 : 3. Это означает, что точка О – середина отрезка DE, делит отрезок AF в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, точка О является точкой пересечения медиан правильного треугольника АВС, т.е. центром основания пирамиды. Мы доказали, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Проведем отрезки LE и LD.

∆ DEL — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Требуется найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды. Плоскости DEL и ABC пересекаются по прямой DE. Линейным углом между этими плоскостями будет ∠AOL, так как это угол, образованный двумя полупрямыми, перпендикулярными  DE. На самом деле: AO⟘DE и LO⟘DE, ведь LO — медиана и высота равнобедренного ∆ DEL. Искомый угол AOL обозначим через α. Проведем LK⟘AO и найдем α из прямоугольного ∆ OKL.

2018-03-11_135101

 

 

Нам нужно найти и LK и OK.

Значение LK найдем из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

Имеем:

2018-03-11_135138

 

 

Итак, нам лишь потребуется найти МО – высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.

Найдем АО, как  радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:

2018-03-11_135214

 

где а – сторона правильного треугольника.

2018-03-11_135428

 

 

 

 

Подставляем нужные значения в равенство ( * ).

2018-03-11_135456

 

 

Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.

Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

2018-03-11_135641

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Сайт размещается на хостинге Спринтхост