ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 33)

Вокруг единичного куба ABCDA1B1C1D1 описана сфера. На ребре В1С1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М, образует угол 75° с плоскостью АВС.

а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы.

Решение.

Мы имеем единичный куб ABCDA1B1C1D1,  который вписан в сферу.  На ребре В1С1 взята точка М так, что плоскость АВМ образует с основанием ABCD угол 75о.

а) Построим линию пересечения сферы и плоскости, переходящей через точки А,В и М.

2018-03-12_130842 Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность. Единственным образом можно построить окружность, проходящую через три точки. Мы имеем только две общие точки окружности сечения и плоскости АВМ – это точки А и В. Найдем третью общую точку. Для этого продолжим отрезок ВМ, лежащий в грани ВВ1С1С до пересечения со сферой. Точку пересечения обозначим через К. Это общая точка окружности, сферы и плоскости грани ВВ1С1С. Точку К соединим с точкой А. Линия пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М – это окружность, описанная около треугольника АВК. Определим вид этого треугольника.

Если из точки К опустить перпендикуляр КК1 на плоскость основания, то основание перпендикуляра точка К1 будет лежать на ребре ВС (почему? Потому что точка К лежит в плоскости грани ВВ1С1С), и прямая АВ на плоскости основания куба, перпендикулярная ВК1 — проекции  наклонной ВК, будет перпендикулярна и самой наклонной (теорема о трех перпендикулярах), т.е. АВ⟘ВК.

Вывод: ∆ АВК — прямоугольный с углом АВК, равным 90о. АК — гипотенуза, и окружность, описанная около  ∆ АВК, имеет диаметр АК. Тогда длину этой окружности мы найдем по формуле C=πd , где d=AK.

б) АК мы могли бы найти по теореме Пифагора, если бы знали ВК. По условию ∠CBK=75°. Почему? Потому что это линейный угол между плоскостью АВМ и плоскостью АВС. На самом деле: СВ⟘АВ (АВСD – квадрат) и ВК⟘АВ (только что доказывали).  Проведем ВС1 — диагональ грани ВВ1С1С.

2018-03-12_130919

 

 

Если около квадрата ВВ1С1С описать окружность, то ВС1 будет диаметром этой окружности. Точка К лежит в плоскости грани и является точкой сферы, значит, лежит на этой окружности, поэтому ∠ВКС1 — прямой.

∠CBK=75°, следовательно, ∠С1ВК = 75°-45° = 30°.

2018-03-12_131004

Навигация

Предыдущая статья: ←

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост