ЕГЭ-2018 ФИПИ, задача 14 (вариант № 36)

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что АD=АE=AL=4.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

2018-03-15_093335Решение.

а) Центр основания ( точка О) правильной пирамиды есть точка пересечения медиан правильного треугольника АВС, поэтому делит медиану AF в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Таким образом, AO : OF = 2 : 1 или AO : АF = 2 : 3. По условию АD=АE=4, значит, CD=BE=2.  Следовательно, так как

2018-03-15_093354

 

 

то треугольники AED и ABC подобны. Это означает, что отношение соответственных медиан этих треугольников также равно 2/3 , т.е.

AO : АF = 2 : 3, поэтому, точка О принадлежит отрезку DE.

б) Треугольник EDL — равнобедренный (LE = LD). Проведем медиану LO, которая будет являться и высотой треугольника EDL . Плоскость EDL пересекает плоскость основания пирамиды по прямой DE. Так как LO⟘DE и AO⟘DE, то ∠AOL является линейным углом между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Обозначим искомый угол AOL через α. Проведем LK⟘AO и найдем тангенс α из прямоугольного треугольника OKL.

2018-03-15_093456

 

 

Прямоугольные треугольники АОМ и AKL подобны по равным углам, их стороны относятся друг к другу, как 5 : 4. На самом деле, так как по условию AL=4, а боковые ребра равны 5, то LM=1, следовательно,

2018-03-15_093526

 

 

Чтобы найти ОК и LK нам нужно найти АО и МО.

АО – радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС.

2018-03-15_093542

 

 

где а – сторона правильного треугольника. У нас а=6.

2018-03-15_093626

 

 

 

 

МО найдем по теореме Пифагора из  ∆ АОМ.

2018-03-15_093705

 

 

 

 

Итак, можем находить тангенс α.

2018-03-15_093747

 

Навигация
Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост