ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (21, 22, 23)-алгебра

Часть 2. Модуль «Алгебра».

21. Найдите значение выражения

2015-03-24_112531

Решение. Замечаем, что к числителю дроби можно применить формулу разности квадратов двух выражений:

a2-b2 =(a-b)(a+b). Действительно:

2015-03-24_112625

Подставляем данное значение суммы радикалов и получаем 4 3 = 12. Ответ: 12.

22. Два человека одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 3 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,6 км/ч, а другой – со скоростью 3,9 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

15-01-22Решение. Пусть их встреча произойдет на расстоянии х от точки отправления. Второй человек прошел 3 км до опушки леса. Затем он пошёл обратно и встретился с первым в х километрах от точки отправления. Это значит, что второй прошел еще (3-х) км, т.е всего второй человек прошел 3+3-х=6-х километров. Так как время равно пути, деленному на скорость (t = S : v), то второй человек, скорость которого 3,9 км/ч, прошел до встречи весь свой путь длиной (6-х) километров за

2015-03-24_112654

Но ведь оба путника вышли одновременно, значит, и первый (он прошёл х км) затратил на свой путь до встречи

2015-03-24_112654

А так как первый человек шёл со скоростью 2,6 км/ч, то по формуле S=v t выразим пройденное им расстояние:

2015-03-24_112819

Умножим обе части равенства на 3:

3х = 2 (6-х). Раскрываем скобки в правой части равенства:  3х = 12-2х. Преобразуем равенство к виду: 3х+2х=12, тогда 5х=12. Отсюда х=12 : 5; х=2,4. На расстоянии 2,4 км от точки отправления произойдет встреча. Ответ: 2,4.

23. Постройте график функции

2015-03-24_112845

и определите, при каких значениях  m прямая у = m  имеет с графиком ровно две общие точки.

15-01-23Решение. Парабола у = -х2-4х-1 имеет вершину в точке О’(m; n), где m = -b/(2a); n=y(m).

m = -b : (2a) = 4 : (-2) = -2; n = y(m) = y(-2) = -(-2)2 -4 (-2)-1= -4+8-1=3. Итак, вершина параболы находится в точке O’(-2; 3). Ветви параболы направлены вниз. График получается из графика функции у = -х2 параллельным переносом на 2 единичных отрезка влево и на 3 единичных отрезка вверх и согласно условию расположен правее прямой х=-3. Левее этой прямой будет лежать график прямой у = -х-1, который построим по двум точкам, взяв любые значения переменной х и вычислив соответствующие им значения функции у. Таким образом график данной функции представляет собой объединение прямой и части параболы. Ответим на вопрос: при каких значениях  m прямая у = m  имеет с графиком ровно две общие точки. Так как прямая у = m  проходит параллельно оси Ох, то мы должны расположить ее так, чтобы она пересекла наш график ровно в двух точках. Очевидно, что искомые прямые – это у=2 и у=3. Ответ: 2; 3.

Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост