ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 01 (24, 25, 26)-геометрия

Часть 2. Модуль «Геометрия».

24. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 13° и 17°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 6.

15-01-24Решение. Пусть в Δ АВС ∠АВС = 13° и ∠АСВ = 17°, тогда третий угол — ∠ВАС = 180°-(13°+17°) = 150°. Около Δ АВС описана окружность с центром в точке О и радиусом R=ОВ=6. Требуется найти сторону ВС. Вспомним теорему синусов. Стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

2015-03-27_102214

Нам понадобится следствие к этой теореме:

и каждое из отношений равно диаметру окружности, описанной около данного треугольника, т.е.

2015-03-27_102243

Отсюда BC = 2R ∙ sin150° = 2 ∙ 6 ∙ sin(180°-30°) = 12 ∙ sin30°=12 ∙ 0,5 = 6. Ответ: 6.

25. Внутри параллелограмма ABCD отметили точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников АВМ и CDM равна площади треугольника BCD.

15-01-25Решение. Проведем через точку М общий перпендикуляр KN параллельных сторон АВ и СD. Заметим, что МК является высотой треугольника АВМ,  MN – высотой треугольника CDM, а KN можно считать высотой треугольника BCD, так как длина перпендикуляра, проведенного из точки В к стороне CD, будет равна KN.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

2015-03-27_102305

Сложим площади треугольников АВМ и CDM, и в результате получим площадь треугольника  BCD, что и требовалось доказать. На самом деле, так как AB=CD (противолежащие стороны параллелограмма равны), то:

2015-03-27_102335

26. Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.

Решение. Замечаем, что 23° + 67° = 90°, а это означает, что продолжения боковых сторон трапеции, пересекаясь, образуют прямой угол.

15-01-26Итак, в трапеции ABCD ∠BAC=23°, ∠ADC=67°,

M – середина АВ, N – середина CD и длина MN = 15.

E – середина ВС,  F – середина AD и длина EF = 8. Пусть отрезки MN и EF пересекаются в точке О, а продолжения боковых сторон трапеции АВ и CD – в точке К.

Требуется найти основания трапеции AD и BC. Так как треугольник MKN является прямоугольным, то его медиана KO равна половине гипотенузы MN, т.е. KO=MN:2=15:2=7,5. Так как MN – средняя линия трапеции, то она делит пополам и отрезок EF, поэтому, EO=EF:2=8:2=4. Отрезок KE=KO-EO=7,5-4=3,5, тогда KF=EF+KE=8+3,5=11,5. Так как треугольник АКD является прямоугольным, то KF – медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы  AD. Так как KF =11,5, то AD=2KF=211,5=23. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, следовательно, AD+BC=2MN=215=30, и ВС=30-AD=30-23=7. Ответ: основания трапеции AD=23, BC=7.

Навигация
Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост