ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 02. Геометрия, часть 1.

Вариант 2. Часть 1. Модуль «Геометрия».

oge15-var2-99. В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны. Внешний угол при вершине В равен 116°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Решение. 1 способ. Нам дан равнобедренный треугольник с основанием АВ. Внешние углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, и внешний угол при вершине А равен 116°. Сумма всех внешних углов, взятых по одному при каждой вершине любого многоугольника равна 360°, следовательно, внешний угол при вершине С равен 360°-(116°+116°)=128°. Отсюда ∠С=180°-128°=52°.

2 способ. Угол В, смежный с данным внешним углом, равен 180°-116°=64°. Так углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠А=∠В=64°. Тогда третий угол треугольника ∠С=180°-(64°+64°)=52°. Ответ: 52.

 

oge15-var2-1010. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и ∠АВС=124°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол ВОС – центральный и опирается на дугу ВС. На эту же дугу опирается угол ВАС – угол при основании равнобедренного треугольника АВС. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому:

∠ВАС=(180°-∠АВС):2; ∠ВАС=(180°-124°):2=28°. Так как вписанный угол равен 28°, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше. Отсюда ∠ВОС=28°∙2=56°. Ответ: 56.

 

oge15-var2-1111. Основания трапеции равны 11 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из ее диагоналей.

Решение. Пусть в трапеции ABCD основания ВС=11 и AD=14. В треугольнике АВС отрезок МО является средней линией. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. МО=ВС:2=11:2=5,5. В треугольнике ACD отрезок ON является средней линией, поэтому ON=AD:2=14:2=7. В ответе укажем большее значение. Ответ: 7.

 

oge15-var2-1212. В треугольнике АВС DE – средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 20. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение. ∆CDE и  ∆ABC подобны по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами этих треугольников. Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. Tак как AB:DE=2:1 (DE – средняя линия треугольника АВС), то SABC : SCDE = 22 : 12 = 4 : 1. Другими словами: так как АВ больше DE в 2 раза, то площадь треугольника АВС больше площади треугольника CDE в 22, т.е. в 4 раза. Получаем:

S∆ABC = 4 S∆CDE  = 4 20 = 80. Ответ: 80.

oge15-var2-13

Навигация
Остались вопросы? Меня зовут Татьяна Яковлевна Андрющенко. Хотите записаться на консультацию? Звоните мне по Skype: tayak_tz или пишите по адресу: at@mathematics-repetition.com
Сайт размещается на хостинге Спринтхост