ОГЭ ФИПИ-2015, вариант 02. Геометрия, часть 2

24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК : КА=3 : 4, КМ=18.

oge15-var2-24Решение. ∆АВС∾∆КВМ по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами. Так как отношения соответственных сторон подобных треугольников равны, то отсюда следует:

2015-10-19_084413

По условию ВК составляет 3 части, а КА — 4 части, следовательно, АВ составит 7 частей. Получаем:

2015-10-19_084539

25. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

oge15-var2-25Решение.  SABD = SACD =  AD h, где h – высота треугольника и трапеции. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь треугольника AOD, то и останутся равные площади: SAОB = SCОD. Доказано!

26. Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС относится к длине стороны АВ как 5 : 7. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.

oge15-var2-26Решение. По свойству биссектрисы АР в треугольнике АВС имеем:

2015-10-19_090028

По свойству биссектрисы АК в треугольнике АВМ имеем:

2015-10-19_090051

Так как у ∆ АМК и ∆ АВК одна и та же высота h1, а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то отношение площадей ∆ АМК и ∆ АВК равно отношению МК к ВК, т.е. равно  5/14. Заметим, что сумма площадей ∆ АМК и ∆ АВК – это площадь треугольника АВМ. А площадь треугольника АВМ – это половина площади данного треугольника АВС (медиана треугольника делит его площадь пополам), т.е. SABM =  ½ SABC .

Отсюда следует, что

2015-10-19_090147

Так как у ∆ АРС и ∆ АВР одна и та же высота h2, то отношение площадей ∆ АРС и ∆ АВР равно отношению СР к ВР, т.е. равно 5/7 .

Это означает, что SAРС = (5/12) SABC. Площадь треугольника АРС состоит из суммы площадей треугольника АМК и четырехугольника КРСМ. Отсюда

2015-10-19_090233

Так как площадь четырехугольника КРСМ составляет  65/228 от площади треугольника АВС, то искомое отношение 65 : 228. Ответ: 65:228.

Навигация

Предыдущая статья: ←

Следующая статья:

Сайт размещается на хостинге Спринтхост