Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ((а -1)х2 + 3х)2 — 2((а -1)х2 + 3х) + 1 — а2 = 0 имеет ровно два решения

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

((а -1)х2 + 3х)2-2((а-1)х2 + 3х) + 1-а2 = 0 имеет ровно два решения.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений, преобразуем данное выражение к виду:

((а-1)х2 + 3х-1)22 = 0. Применим формулу разности квадратов двух выражений и разложим левую часть на множители:

((а-1)х2 + 3х-1-а)((а-1)х2 + 3х-1 + а) = 0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом значении не теряют смысла.

(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 или (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0.

1) (а-1)х2 + 3х-1-а = 0. Найдём дискриминант.

D = 32-4 (a-1) (-1-a) = 9 + 4 (a-1) (1 + a) = 9 + 4 (a2-1) = 9 + 4a2-4 = 5 + 4a2 > 0 при любом значении а, следовательно, уравнение

(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 имеет два действительных корня.

2) (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0. Найдём дискриминант.

D = 32-4 (a-1) (-1 + a) = 9 + 4 (a-1)2 = 9-4 (a2-2а + 1) = 9-4a2 + 8а-4 = -4а2 + 8а + 5. Если и этот дискриминант будет больше нуля, то мы получим к уже имеющимся двум действительным корням ещё два. Но если этот дискриминант будет меньше нуля, то новых корней не будет. Найдём значения а, при которых дискриминант был меньше нуля. Решим неравенство:

-4а2 + 8а + 5 < 0   →    4а2-8а-5 > 0. Решаем уравнение 4а2-8а-5 = 0. Второй коэффициент – чётный, поэтому, находим

D1 = — ac = 42— 4 (-5) = 16 + 20 = 36 = 62 > 0; два действительных корня.

2018-03-15_112831

 

 

Неравенство 4а2-8а-5 > 0 будет верным при а ∈ (-∞ ; а1)  (a2; +∞ ), т.е. при

а ∈ (-∞ ; -0,5)  (2,5; +∞ ). Итак, при этом условии уравнение (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0 не будет иметь действительных корней, и данное в условии уравнение будет иметь ровно два решения.

Ответ: а∈ (- ∞; -0,5)  (2,5; +∞ ).

Оцените статью
Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ