Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

найдите все значения параметра неравенства Задание 18 ЕГЭ

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

2018-03-15_113835

 

 

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду:

2018-03-15_113858

 

 

Приведём левую часть к общему знаменателю.

2018-03-15_113913

 

 

Так как -1 ≤ cos4x ≤ 1, то знаменатель дроби при любом значении а положителен, поэтому равенство будет верным, если числитель окажется меньшим нуля. Решаем неравенство:

a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + cos4x-a2 < 0. Применим формулу: 1 + cos2α = 2cos2α, тогда cos4x = 2cos22х-1. Получаем неравенство:

a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + 2cos22х-1-a2 < 0;

2cos22x-(a2-2a)cos2x-(а2-а + 2) < 0. Это квадратное уравнение относительно переменной cos2x. Сделаем замену: cos2x = z. Получаем:

2z2-(a2-2a)z-(а2-а + 2) < 0. ( * )

2018-03-15_113957

Проиллюстрируем последнее утверждение – рассмотрим график функции  y = cos2x на промежутке

2018-03-15_114031

 

 

2018-03-15_114048

Неравенство ( * ) должно выполняться и при z =-1 и при z = 1. Искомыми будут являться те значения параметра а, при которых неравенство ( * ) будет выполнено.

1) z =-1.

2 (-1)2-(a2-2a) (-1)-(а2 — а + 2) < 0;

2 + а2-2а-а2 + а-2 < 0   →   -а < 0     →    а > 0.

2) z = 1.

2 12-(a2-2a) 1-(а2-а + 2) < 0;

2-а2 + 2а-а2 + а-2 < 0   →   -2а2 + 3a < 0     →    2а2-3a  > 0    →   a(2a-3) > 0.

2018-03-15_114127

Общее решение: а ∈ (1,5; + ∞).  Ответ: а > 1,5.

Оцените статью
Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ