Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (ax^2-2x)^2+(a^2-a+2)(ax^2-2x)-a^2(a-2)=0 имеет ровно два решения

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(ах2-2х)2 + (а2-а + 2)(ах2-2х)-а2(а-2) = 0 имеет ровно два решения.

Решение

1) Решим данное уравнение при а = 0.

(-2х)2 + 2 (-2х) = 0     →     4х2-4х = 0   →   4х(х-1) = 0.

Отсюда х = 0 или х-1 = 0  →   х = 1.

Вывод: при а = 0 данное уравнение имеет ровно два решения: х = 0 и х = 1.

2) Сделаем замену: ах2-2х = у. Получаем:

у2 + (а2-а + 2)у-а2(а-2)) = 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения и упростим его.

D = (а2-а + 2)2-4 (-а2(а-2) = а4 + а2 + 4-2а3-4а + 4а2 + 4а3-8а2 =

= а4 + 2а3-3а2-4а + 4 = а4 + 2а3-2а2-4а-а2 + 4 = (а4 + 2а3)-(2а2 + 4а)-(а2-4) =

= а3(а + 2)-2а(а + 2)-(а + 2)(а-2) = (а + 2)(а3-2а-а + 2) =

= (а + 2)((а3-а)-(2а-2)) = (а + 2)(а(а2-1)-2(а-1)) =

= (а + 2)(а(а-1)(а + 1)-2(а-1)) = (а + 2)(а-1)(а(а + 1)-2) =

= (а + 2) (а-1)(а2 + а-2)  = (а + 2)(а-1)(а + 2)(а-1) = (а + 2)2 (а-1)2 > 0 при любых значениях а, кроме а =-2 и а = 1.

3) Если D = 0, т.е. если а = -2 или а = 1, то, используя формулу для решения квадратного уравнения при D = 0:

2018-03-27_113553

 

Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у,

при а =-2 получаем -2х2-2х =-4   →   х2 + х-2 = 0   →    х1 =-2 и х2 = 1 (два корня);

при а = 1 получаем  х2-2х = -1 →  х2-2х + 1 = 0  → (х-1)2 = 0  →  х = 1 (один корень).

Вывод: при а =-2  данное уравнение имеет ровно два решения: х =-2 и х = 1.

4) Если D > 0, т.е. если а ∈ (-∞ ; -2) ∪ (-2; 1) ∪ (1; +∞ ), то по формуле для корней квадратного уравнения

2018-03-27_113659

 

Тогда, возвращаясь к замене ах2-2х = у, получаем:

ах2-2х =-а2  и  ах2-2х = а-2.

4а) ах2-2х =-а2.

D1 = 1-a3 > 0 при a3 < 1  →  a < 1 получаем два корня:

2018-03-27_113749

 

 

4б) ах2-2х-(а-2) = 0.

D1 = 1 + а(а-2) = 1 + а2-2а = а2-2а + 1 = (а-1)2 > 0 при любом а ≠ 1. Тогда получаем

2018-03-27_113836

 

 

Вывод: предполагая, что D > 0 мы получаем четыре решения. Исключим корни пункта 4а). Как? Эти решения получаются при условии а < 1, следовательно, если мы потребуем выполнения условия a  > 1, то от четырёх корней останутся ровно два корня (из пункта 4б).

5) Итог: ровно два решения мы получим при а = 0 или при а =-2 или при а > 1.

Ответ: а =-2; а = 0; а ∈ (1; +∞).

Оцените статью
Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ