Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (|x-9|-|x-a|)^2-9ax(|x-9|-|x-a|)+8a^2+28a-16=0 имеет ровно два решения

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

(|x-9|-|x-a|)2-9a(|x-9|-|x-a|) + 8a2 + 28a-16 = 0 имеет ровно два решения.

Решение задания

Решение. Сделаем замену: |x-9|-|x-a| = у. Получаем:

у2-9aу + 8a2 + 28a-16 = 0. Найдём дискриминант.

D = (9a)2-4 (8a2 + 28a-16) = 81a2-32a2-112a + 64 = 49a2-112a + 64 = (7a-8)2 > 0 при любом значении а ≠ 8/7 .  Корни квадратного уравнения:

2018-03-28_113417

Возвращаемся к переменной х и получаем два равенства:

|x-9|-|x-a| = а + 4 и |x-9|-|x-a| = 8а-4.

Нам нужно, чтобы данное в условии уравнение имело ровно два решения. Смотрите предшествующий задаче материал  в Примере 1.

Мы имеем уравнение вида:  |x-b|-|x-c| = d. У нас b = 9, с = а.

Так как уравнение вида |x-b|-|x-c| = d может иметь либо один корень, либо бесконечное множество корней, либо вообще не иметь корней, то два корня мы получим только при условии, что равенства |x-9|-|x-a| = а + 4 и |x-9|-|x-a| = 8а-4 будут выполнены одновременно. Решим систему уравнений:

2018-03-28_113453

Мы знаем теперь (смотрите Пример 1 в предыдущем материале), что

уравнение вида |x-b|-|x-c| = d (b < c) имеет единственное решение  при условии  bc < d < cb;

уравнение вида |x-b|-|x-c| = d (b > c) имеет единственное решение  при условии  cb < d < bc.

Однако, мы не знаем, 9 < a (b < c) или  9 > a (b > c), поэтому рассмотрим два случая.

Случай А (b < c)

Система уравнений будет иметь ровно два решения, если:

2018-03-28_113532

Следовательно, случай А не имеет место, и на самом деле имеем случай Б.

Случай Б (b > c)

Система уравнений будет иметь ровно два решения, если:

2018-03-28_113554

Общее решение системы  ( * ):

2018-03-28_113632

Оцените статью
Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ