Задание. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 12 : 4 : 7 : 13. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Обозначим градусные величины дуг AB, BC, CD и AD:
\displaystyle \overset{\smile}{AB} = 12x \\ \overset{\smile}{BC} = 4x \\ \overset{\smile}{CD} = 7x \\ \overset{\smile}{AD} = 13xГде x — это градусная мера одной части дуги.
Известно, что вся окружность составляет 360 градусов. Тогда запишем:
\displaystyle \overset{\smile}{AB} + \overset{\smile}{BC} + \overset{\smile}{CD} + \overset{\smile}{AD} = 360°Подставим значения и найдем x:
12x + 4x + 7x + 13x = 360° \\ 36x = 360° \\ x = 10°Получается, что дугу поделили на 36 частей. И одна часть составляет 10 градусов. Теперь подсчитаем градусные величины дуг:
\displaystyle \overset{\smile}{AB} = 12 \cdot 10° = 120° \\ \overset{\smile}{BC} = 4 \cdot 10° = 40° \\ \overset{\smile}{CD} = 7 \cdot 10° = 70° \\ \overset{\smile}{AD} = 13 \cdot 10° = 130°.Угол BAD опирается на дугу BD, которая есть сумма дуг:
\displaystyle \overset{\smile}{BD}= \overset{\smile}{BC}+\overset{\smile}{CD}= 40°+70°=110°Так как угол BAD является вписанным, то он равен половине дуги, на которую он опирается:
\displaystyle \angle BAD=\frac{\overset{\smile}{BD}}{2}=\frac{110°}{2}=55°.Ответ: 55°
