Задача. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле \displaystyle l = \sqrt{\frac{Rh}{500}} , где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 24 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 32 км?
Решение
Для решения задачи воспользуемся предоставленной формулой видимости горизонта: \displaystyle l = \sqrt{\frac{Rh}{500}}, где l — расстояние до горизонта в километрах, R — радиус Земли, а h— высота наблюдателя над уровнем моря в метрах.
Изначально человек видит горизонт на расстоянии 24 км. Подставим данные в формулу и выразим высоту наблюдателя h_1:
\displaystyle 24 = \sqrt{\frac{6400 \cdot h_1}{500}} \\[5mm] 24^2 = \frac{6400 \cdot h_1}{500} \\[5mm] h_1 = \frac{24^2 \cdot 500}{6400}Теперь вычислим, на какую минимальную высоту h_2 нужно подняться, чтобы увидеть горизонт на расстоянии не менее 32 км:
\displaystyle 32 = \sqrt{\frac{6400 \cdot h_2}{500}} \\[5mm] 32^2 = \frac{6400 \cdot h_2}{500} \\[5mm] h_2 = \frac{32^2 \cdot 500}{6400}Разница в высотах \Delta h даст нам высоту, на которую нужно подняться:
\Delta h = h_2 - h_1Так как высота одной ступеньки равна 20 см, или 0,2 м, количество ступенек n будет равно:
\displaystyle n = \frac{\Delta h}{0,2}Теперь выполним вычисления:
\displaystyle h_1 = \frac{576 \cdot 500}{6400} = \frac{288000}{6400} = 45 \\[5mm] h_2 = \frac{1024 \cdot 500}{6400} = \frac{512000}{6400} = 80 \\[5mm] \Delta h = 80 - 45 = 35 \\[5mm] n = \frac{35}{0,2} = 175Таким образом, человеку нужно подняться как минимум на 175 ступенек, чтобы увидеть горизонт на расстоянии не менее 32 км.
Ответ: 175.
