Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28.

Задача. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение

Если вокруг равнобедренной трапеции описана окружность, то её боковые стороны и основания являются хордами окружности и отсекают от нее дуги. Если хорды равны, значит, равны и градусные меры дуг.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. — Рисунок к задаче.

У нас есть равнобедренная трапеция с боковыми сторонами AB и CD, которые равны меньшему основанию BC. Меньшие дуги окружности, соответствующие сторонам AB, BC и CD, обозначены как $\stackrel{\frown}{AB}$ , $\stackrel{\frown}{BC}$ и $\stackrel{\frown}{CD}$ соответственно. Так как угол CDA =60 градусов, то дуга AC будет равна 120 градусов. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. А дуга AC равна сумме дуг $\stackrel{\frown}{AB}$ и $\stackrel{\frown}{BC}$ . Значит, эти две дуги будут по 60 градусов. И дуга $\stackrel{\frown}{CD}$ тоже будет 60 градусов.

Так как сумма дуг $\stackrel{\frown}{AB}$ , $\stackrel{\frown}{BC}$ и $\stackrel{\frown}{CD}$ равна 180°, это означает, что прямая AD является диаметром описанной окружности. Диаметр описанной окружности в два раза больше её радиуса, таким образом, радиус равен половине длины диаметра.

Поскольку большее основание AD равно 28, то радиус R описанной окружности равен половине этой длины: