Задача. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Решение
Если вокруг равнобедренной трапеции описана окружность, то её боковые стороны и основания являются хордами окружности и отсекают от нее дуги. Если хорды равны, значит, равны и градусные меры дуг.
У нас есть равнобедренная трапеция с боковыми сторонами AB и CD, которые равны меньшему основанию BC. Меньшие дуги окружности, соответствующие сторонам AB, BC и CD, обозначены как \stackrel{\frown}{AB}, \stackrel{\frown}{BC} и \stackrel{\frown}{CD} соответственно. Так как угол CDA =60 градусов, то дуга AC будет равна 120 градусов. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. А дуга AC равна сумме дуг \stackrel{\frown}{AB} и \stackrel{\frown}{BC}. Значит, эти две дуги будут по 60 градусов. И дуга \stackrel{\frown}{CD} тоже будет 60 градусов.
Так как сумма дуг \stackrel{\frown}{AB}, \stackrel{\frown}{BC} и \stackrel{\frown}{CD} равна 180°, это означает, что прямая AD является диаметром описанной окружности. Диаметр описанной окружности в два раза больше её радиуса, таким образом, радиус равен половине длины диаметра.
Поскольку большее основание AD равно 28, то радиус R описанной окружности равен половине этой длины:
\displaystyle R = \frac{AD}{2} = \frac{28}{2} = 14Таким образом, радиус описанной окружности равен 14 единицам.
Ответ: 14.
