Задача. Расстояние между городами А и В равно 180 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 3 часа следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
Решение
Возьмем за исходное предположение, что автомобиль и мотоцикл встретились на расстоянии S километров от города А. Тогда до города В останется 180 - S километров. Обозначим скорость автомобиля как x километров в час. Время, затраченное автомобилем на дистанцию S, составит \displaystyle \frac{S}{x} часов, а мотоциклист затратит \displaystyle \frac{S}{90} часов, чтобы добраться до точки С.
Из условия известно, что мотоциклист выехал на 3 часа позже автомобиля, следовательно:
\displaystyle \frac{S}{x} - \frac{S}{90} = 3Также известно, что за время возвращения мотоциклиста в А, автомобиль доехал от С до В. Это означает, что оставшееся расстояние до В автомобиль проехал за то же время, за которое мотоциклист доехал обратно до А:
\displaystyle \frac{180 - S}{x} = \frac{S}{90}Исходя из этих уравнений, мы можем составить систему:
\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{S}{x} - \frac{S}{90} = 3 \\ \\ \displaystyle \frac{180 - S}{x} = \frac{S}{90} \end{array} \right.Решая систему, получаем:
\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle x = \frac{90S}{S + 270} \\ \\ \displaystyle x = \frac{90(180 - S)}{S} \end{array} \right.Из равенства левых частей следует равенство правых частей:
\displaystyle \frac{90S}{S + 270} = \frac{90(180 - S)}{S}Делим обе части на 90 и упрощаем:
\displaystyle \frac{S}{S + 270} = \frac{180 - S}{S} \\[5mm] S^2 = (180 - S)(S + 270) \\[5mm] S^2 = 180S + 48600 - S^2 - 270S \\[5mm] S^2 + 45S - 24300 = 0Решая это квадратное уравнение, находим:
\displaystyle D = 2025 + 97200 = 99225 = 315^2 \\ S_1 = \frac{-45 + 315}{2} = 135 \\ S_2 < 0Поскольку расстояние не может быть отрицательным, правильный ответ — 135 км.
Ответ: 135 км.
