Задача. Найдите точку максимума функции y = (x + 35)e^{3,5 - x}.
Решение
Чтобы найти точку максимума функции, необходимо вычислить первую производную функции и приравнять её к нулю, а затем проверить, является ли найденная критическая точка точкой максимума.
Дана функция:
y = (x + 35)e^{3,5 - x}Найдем её первую производную по правилу производной произведения:
y' = (x + 35)'e^{3,5 - x} + (x + 35)(e^{3,5 - x})' = e^{3,5 - x} - (x + 35)e^{3,5 - x} \\ y'= e^{3,5 - x} (1 - (x + 35))Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
e^{3,5 - x} (1 - (x + 35)) = 0Так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю, то решаем уравнение:
1 - (x + 35) = 0 \\ x + 35 = 1 \\ x = 1 - 35 \\ x = -34Чтобы убедиться, что это точка максимума, анализируем поведение первой производной слева и справа от точки x = -34. В данном случае достаточно заметить, что экспонента всегда положительна, а множитель 1 - (x + 35) меняет знак с плюса на минус при увеличении x через значение x = -34, что указывает на максимум в этой точке.
Таким образом, точка максимума функции y = (x + 35)e^{3,5 - x} находится в точке x = -34.
Ответ: -34.