Найдите точку максимума функции y = (x + 35)e^(3,5

Найдите точку максимума функции y = (x + 35)e^(3,5 — x)

Задача. Найдите точку максимума функции $y = (x + 35)e^{3,5 - x}$ .

Решение

Чтобы найти точку максимума функции, необходимо вычислить первую производную функции и приравнять её к нулю, а затем проверить, является ли найденная критическая точка точкой максимума.

Дана функция:

y = (x + 35)e^{3,5 - x}

Найдем её первую производную по правилу производной произведения:

y' = (x + 35)'e^{3,5 - x} + (x + 35)(e^{3,5 - x})' = e^{3,5 - x} - (x + 35)e^{3,5 - x} \\ y'= e^{3,5 - x} (1 - (x + 35))

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

e^{3,5 - x} (1 - (x + 35)) = 0

Так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю, то решаем уравнение:

1 - (x + 35) = 0 \\ x + 35 = 1 \\ x = 1 - 35 \\ x = -34

Чтобы убедиться, что это точка максимума, анализируем поведение первой производной слева и справа от точки $x = -34$ . В данном случае достаточно заметить, что экспонента всегда положительна, а множитель $1 - (x + 35)$ меняет знак с плюса на минус при увеличении $x$ через значение $x = -34$ , что указывает на максимум в этой точке.

Таким образом, точка максимума функции $y = (x + 35)e^{3,5 - x}$ находится в точке $x = -34$ .

Ответ: -34.