Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1,5. Найдите сторону ромба, если один из его углов равен 30°

Задача. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1,5. Найдите сторону ромба, если один из его углов равен 30°.

Решение

Решим задачу, используя связь между стороной ромба, его углами и радиусом вписанной окружности. Похожая задача здесь.

Площадь ромба можно найти как произведение его сторон и синуса угла между ними. Также площадь ромба равна произведению его высоты на сторону.

Пусть сторона ромба равна $a$ , тогда площадь ромба $S$ :

S = a^2 \cdot \sin 30^\circ

С другой стороны, площадь ромба через высоту $h$ и сторону $a$ равна:

S = a \cdot h

Высота ромба $h$ также равна двум радиусам вписанной окружности (так как высота ромба равна диаметру вписанной окружности):

h = 2r

Так как радиус, вписанной в ромб окружности, дан и равен 1,5, то высота ромба будет:

h = 2 \cdot 1,5 = 3

Теперь приравняем два выражения для площади:

a^2 \cdot \sin 30^\circ = a \cdot h

Заменим синус 30 градусов на его значение ( $\displaystyle \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ ) и высоту $h$ на найденное значение:

\displaystyle a^2 \cdot \frac{1}{2} = a \cdot 3

Сократим на $a$ :

a = 2 \cdot 3=6

Итак, сторона ромба равна 6.

Ответ: 6