На рисунке изображены графики функций f(x)=3x+3 и g(x)=ax^2 + bx + c

Задача. На рисунке изображены графики функций $f(x) = 3x + 3$ и $g(x) = ax^2 + bx + c$ , которые пересекаются в точках $A(-1; 0)$ и $B(x_0; y_0)$ . Найдите $y_0$ .

Решение

Значение константы для квадратичной функции составляет -3, что соответствует ее пересечению с вертикальной осью координат. Даны координаты двух точек на графике этой функции: (-2, 1) и (-4, -3). Включая эти точки в стандартное квадратичное уравнение, мы составим систему для определения коэффициентов $a$ и $b$ :

a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 3 = 1 \\ 4a - 2b - 3 = 1 \\  \\  a \cdot (-4)^2 + b \cdot (-4) - 3 = -3 \\ 16a - 4b - 3 = -3

Далее, если удвоить первое уравнение и вычесть его из второго, мы получим:
$16a - 2b - 3 = 1 \\ 16a - 4b - 3 = -3 \\ 8a = -8 \\ a = -1$

Используя это значение $a$ , находим $b$ из первого уравнения:

4a - 2b - 3 = 1 \\ b = -4

Таким образом, уравнение параболы принимает вид:

g(x) = -x^2 - 4x - 3

Для нахождения точек пересечения квадратичной функции и прямой, мы устанавливаем их равенство:

\displaystyle f(x) = g(x) \\ 3x + 3 = -x^2 - 4x - 3 \\ x^2 + 7x + 6 = 0 \\ D = 49 - 24 = 25 \\ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{D}}{2a} = -1 \\ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{D}}{2a} = -6

На координате $x = -1$ располагается точка $А$ , исходя из чего для точки $В$ соответствующей координатой будет $x = -6$ . При этом, значение линейной функции, совпадающее с квадратичной в точке $x_0=x_2 = -6$ , будет:

y_0=f(-6) = 3 \cdot (-6) + 3 = -15

Ответ: -15.