Задача. Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 150, а во втором — каждое число равно 50. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 78.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшили на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?
Решение
Пусть количество чисел первого набора будет x, а количество чисел второго набора будет y шт. Запишем математически среднее арифметическое всех чисел двух наборов:
\displaystyle \frac{150x+50y}{x+y}=78.Выразим x через y.
\displaystyle 150x+50y=78x+78y \\ 72x=28y \\ 18x=7y \\ x=\frac{7}{18}yТеперь перейдем к пункту a) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?
Запишем,
\displaystyle \frac{(150-n)x+50y}{x+y}=71Заменим \displaystyle x=\frac{7}{18}y, получаем:
\displaystyle \frac{(150-n)\cdot \frac{7}{18}y+50y}{\frac{7}{18}y+y}=71Умножим левую и правую части уравнения на \displaystyle \frac{18}{y}:
\displaystyle \frac{1050-7n+900}{25}=71 \\ 1950-7n=1775 \\ 7n=175 \\ n=25Таким образом, среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71
Ответ в пункте а) да.
Переходим к пункту б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?
Действуем также, как в пункте а), только заменим n на m.
\displaystyle \frac{(150-m)x+50y}{x+y}=70Подставляем \displaystyle x=\frac{7}{18}y.
\displaystyle \frac{(150-m)\cdot \frac{7}{18}y+50y}{\frac{7}{18}y+y}=70Умножим правую и левую части на \displaystyle \frac{18}{y}:
\displaystyle \frac{1050-7m+900}{25}=70 \\ 1950-7m=1750 \\ 7m=200Нет такого натурального числа m, чтобы 7m=200.
Ответ в пункте б) нет.
Пункт в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшили на k каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?
Возможны два варианта:
- увеличили на k каждое число первого набора и уменьшили на k каждое число второго набора
- увеличили на k каждое число второго набора и уменьшили на k каждое число первого набора.
Рассмотрим каждый случай. Начнем с первого. В этом случае k<150.
\displaystyle \frac{(150-k)x+(50+k)y}{x+y}=\frac{(150-k)\frac{7}{18}y+(50+k)y}{\frac{7}{18}y+y}Умножим на \displaystyle \frac{18}{y}:
\displaystyle \frac{1050-7k+900+18k}{25}=\frac{1950+11k}{25}=78+\frac{11}{25}kПо условию задачи среднее арифметическое может принимать только положительные значения, это означает, что в выражении \displaystyle 78+\frac{11}{25}k, число k должно делиться на 25. С учетом того, что k<150, это числа 25, 50, 75, 100, 125. Подставляя их в выражение \displaystyle 78+\frac{11}{25}k, получим значения среднего арифметического 89, 100, 111, 122, 133.
Теперь рассмотрим второй случай «увеличили на k каждое число второго набора и уменьшили на k каждое число первого набора». При этом k<50.
Среднее арифметическое в этом случае:
\displaystyle \frac{(150+k)x+(50-k)y}{x+y}=\frac{(150+k)\frac{7}{18}y+(50-k)y}{\frac{7}{18}y+y}=\frac{1950-11k}{25}=78-\frac{11k}{25}.В этом случае есть только одно возможное значение k=25. И среднее арифметическое будет 78-11=67.
Ответ в пункте в) 67, 89, 100, 111, 122, 133.
Ответ: а) да, б) нет, в) 67, 89, 100, 111, 122, 133.