Найдите значение выражения (2^(log9(3)))/(2^(log9(243)))

Найдите значение выражения (2^(log9(3)))/(2^(log9(243))) ЕГЭ

Задача. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{2^{\log_9 3}}{2^{\log_9 243}}.

Решение

Для решения этого выражения используем свойства логарифмов и степеней.

Для начала упростим выражение в знаменателе. Число 243 можно представить как 3^5, так как 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243.

Теперь выражение примет вид:

\displaystyle \frac{2^{\log_9 3}}{2^{\log_9 3^5}}.

Используем свойство логарифма степени: \log_a b^n = n \log_a b, применим его к знаменателю:

\displaystyle \frac{2^{\log_9 3}}{2^{5 \log_9 3}}.

Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе степени с одинаковым основанием 2, поэтому мы можем применить свойство степеней: \displaystyle a^m / a^n = a^{m-n}.

Получаем:

\displaystyle 2^{\log_9 3 - 5 \log_9 3} = 2^{-4 \log_9 3}.

Поскольку \displaystyle \log_9 3 = \frac{1}{2} (так как 9^{1/2} = 3), подставим это значение в выражение:

\displaystyle 2^{-4 \cdot \frac{1}{2}} = 2^{-2}.

И, наконец, 2^{-2} это то же самое, что \displaystyle \frac{1}{2^2}, что равно \displaystyle \frac{1}{4} или 0,25.

Ответ: 0,25.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии