Задача. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{2^{\log_9 3}}{2^{\log_9 243}}.
Решение
Для решения этого выражения используем свойства логарифмов и степеней.
Для начала упростим выражение в знаменателе. Число 243 можно представить как 3^5, так как 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243.
Теперь выражение примет вид:
\displaystyle \frac{2^{\log_9 3}}{2^{\log_9 3^5}}.Используем свойство логарифма степени: \log_a b^n = n \log_a b, применим его к знаменателю:
\displaystyle \frac{2^{\log_9 3}}{2^{5 \log_9 3}}.Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе степени с одинаковым основанием 2, поэтому мы можем применить свойство степеней: \displaystyle a^m / a^n = a^{m-n}.
Получаем:
\displaystyle 2^{\log_9 3 - 5 \log_9 3} = 2^{-4 \log_9 3}.Поскольку \displaystyle \log_9 3 = \frac{1}{2} (так как 9^{1/2} = 3), подставим это значение в выражение:
\displaystyle 2^{-4 \cdot \frac{1}{2}} = 2^{-2}.И, наконец, 2^{-2} это то же самое, что \displaystyle \frac{1}{2^2}, что равно \displaystyle \frac{1}{4} или 0,25.
Ответ: 0,25.