Задача. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому P = \sigma S T^4 , где P — мощность излучения звезды (в ваттах), \sigma = 5,7 \cdot 10^{-8} \ Вт/м^2 \cdot К^4 — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \displaystyle \frac{1}{648} \cdot 10^{20} \ м^2 , а мощность её излучения равна 1,824 \cdot 10^{26} \ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.
Решение
Задача заключается в том, чтобы найти температуру звезды, используя закон Стефана — Больцмана и данные излучения и площади поверхности звезды. Для решения задачи необходимо выразить температуру из уравнения Стефана — Больцмана и подставить известные значения мощности излучения P и площади поверхности S, а также постоянную \sigma, чтобы найти T.
Чтобы решить эту задачу, мы используем закон Стефана-Больцмана, который описывает излучение черного тела, в данном случае звезды. Закон гласит, что мощность излучения P, излучаемого черным телом, пропорциональна четвертой степени температуры тела Tи площади его поверхности S. Формула для этого закона выглядит так:
P = \sigma S T^4где
- P — мощность излучения звезды в ваттах (Вт),
- \sigma — постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,7 \cdot 10^{-8} Вт/ м^2 \cdot К^4,
- S — площадь поверхности звезды в квадратных метрах (м^2),
- T — температура звезды в кельвинах (К).
Нам даны Pи S, и мы должны решить это уравнение относительно T, чтобы найти температуру звезды.
Площадь поверхности звезды Sравна \displaystyle \frac{1}{648} \cdot 10^{20} \ м^2 , а мощность излучения Pравна 1,824 \cdot 10^{26} \ Вт.
Теперь подставим данные в формулу и выразим T:
\displaystyle 1,824 \cdot 10^{26} = 5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{648} \cdot 10^{20} \cdot T^4Чтобы найти T, возведем обе части уравнения в четвертую степень:
\displaystyle T^4 = \frac{1,824 \cdot 10^{26}}{5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{648} \cdot 10^{20}} \\[5mm] T^4 = \frac{1,824 \cdot 10^{26} \cdot 648}{5,7 \cdot 10^{12}} \\[5mm] T^4 = \frac{1,824 \cdot 648}{5,7} \cdot 10^{14} \\ T^4= 0,32 \cdot 648 \cdot 10^{14}= 32 \cdot 648 \cdot 10^{12}= 64 \cdot 324 \cdot 10^{12}Извлечем корень четвертой степени из полученного числа, чтобы найти T.
\displaystyle T=\sqrt[4]{T^4}= \sqrt[4] {64 \cdot 324 \cdot 10^{12}}=\sqrt[4] {2^6 \cdot 18^2 \cdot 10^{12}}=\sqrt[4]{2^6 \cdot (3^2 \cdot 2)^2 \cdot 10^{12}}= \\ =\sqrt[4]{2^6 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \cdot 10^{12}}=\sqrt[4]{2^8 \cdot 3^4 \cdot 10^{12}}= 2^4 \cdot 3 \cdot 10^{3}=12 \cdot 1000=12000.Таким образом, температура звезды составляет 12000 Кельвинов.
Ответ: 12000.
