В треугольнике ABC угол С равен 90°, BC=3, \displaystyle cosA=\frac{2\sqrt{5}}{5}. Найдите \displaystyle AC.
Решение
Запишем соотношение сторон и углов в треугольнике:
\displaystyle \cos{A} = \frac{AC}{AB}
Чтобы найти AC нам надо знать AB.
Найти AB можно из уравнения для синуса угла А.
\displaystyle \sin{A}= \frac{CB}{AB}Поэтому найдем синус угла А, используя основное тригонометрическое тождество:
\displaystyle \sin{A} = \sqrt{1 - \cos^2{A}}= \sqrt{1 - \frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{1}{5}}= \frac{1}{\sqrt{5}}Теперь находим гипотенузу AB:
\displaystyle AB= \frac{CB}{\sin{A}}= \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}}= 3\sqrt{5}Подставляем значение AB в выражение для косинуса угла А и получаем:
\displaystyle AC= \cos{A} \cdot AB= \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot 3\sqrt{5} = \frac{6 \cdot 5}{5}= 6Ответ: 6.
