Найдите значение выражения (125^7)^3:(25^4)^8

Найдите значение выражения $\displaystyle (125^7)^3:(25^4)^8$ .

Решение

Решение задачи сводится к нахождению одного основания у все степеней. В данном случае — основанием является число 5.

125 это $\displaystyle 5^3$

25 это $5^2$ .

И тогда получаем:

\displaystyle ((5^3)^7)^3:((5^2)^4)^8=(5^{21})^3:(5^8)^8=5^{63}:5^{64}=5^{63-64}=5^{-1}=\frac{1}{5}=0,2

Ответ: 0,2.

Теория

Для решения таких задач важно знать свойства степеней:

1. Основание в степени:

\displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}

Это свойство говорит о том, что если у нас степень в степени, то степени умножаются.

2. Деление оснований при одинаковых степенях:

\displaystyle a^n : b^n = (a : b)^n

Однако это свойство здесь не применяется, но полезно знать.

3. Деление степеней с одинаковыми основаниями:

\displaystyle a^m : a^n = a^{m-n}

Это свойство говорит о том, что если основания одинаковые и их делят, то степени вычитаются.

4. Обратная степень:

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Это свойство говорит о том, что отрицательная степень числа равна обратному значению этого числа в положительной степени.

При решении задачи выше мы в первую очередь привели все числа к одному основанию, а именно к числу 5. Затем с помощью первого и третьего свойств мы привели выражение к более простому виду и нашли ответ.