Задача. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 25. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Решение
У нас есть шар, площадь поверхности которого S_{шара} = 4\pi r^2 и равна 25. Из этой формулы найдем радиус шара:
\displaystyle 4\pi r^2 = 25 \\[5mm] r^2 = \frac{25}{4\pi} \\[5mm] r = \sqrt{\frac{25}{4\pi}} \\[5mm] r = \frac{5}{2\sqrt{\pi}}Так как шар вписан в цилиндр, то высота цилиндра h равна диаметру шара, то есть h = 2r. Тогда:
\displaystyle h = 2 \cdot \frac{5}{2\sqrt{\pi}} \\ h = \frac{5}{\sqrt{\pi}}Площадь полной поверхности цилиндра S_{цилиндра} состоит из площади двух оснований и боковой поверхности:
S_{цилиндра} = 2\pi r^2 + 2\pi rh
Подставим значения радиуса и высоты:
\displaystyle S_{цилиндра} = 2\pi \left(\frac{5}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 + 2\pi \left(\frac{5}{2\sqrt{\pi}}\right)\left(\frac{5}{\sqrt{\pi}}\right) \\[5mm] S_{цилиндра} = 2\pi \left(\frac{25}{4\pi}\right) + 2\pi \left(\frac{25}{2\pi}\right) \\[5mm] S_{цилиндра} = 2 \cdot \frac{25}{4} + 2 \cdot \frac{25}{2} \\[5mm] S_{цилиндра} = 2 \cdot \frac{25}{4} + 25 \\[5mm] S_{цилиндра} = \frac{25}{2} + 25 \\[5mm] S_{цилиндра} = 12,5+25 \\[5mm] S_{цилиндра} = 37.5Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна 37.5.
Ответ: 37,5
