Найдите значение выражения √m / (√[5]m * √[20]m) при m=256

Задача. Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{m} \cdot \sqrt[20]{m}}$ при m=256.

Решение

Дано выражение

\displaystyle \frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{m} \cdot \sqrt[20]{m}}

Преобразуем корни в степени:

\displaystyle \sqrt{m} = m^{1/2}, \\[5mm]  \sqrt[5]{m} = m^{1/5}, \\[5mm] \sqrt[20]{m} = m^{1/20}.

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\displaystyle \frac{m^{1/2}}{m^{1/5} \cdot m^{1/20}}

Для упрощения выражения используем свойство степеней $\displaystyle \frac{1}{a^b} = a^{-b}$ :

\displaystyle m^{1/2} \cdot m^{-1/5} \cdot m^{-1/20}

Теперь сложим показатели степеней:

\displaystyle m^{1/2 - 1/5 - 1/20}

Приведем дроби к общему знаменателю:

\displaystyle m^{10/20 - 4/20 - 1/20} \\ m^{5/20} \\ m^{1/4}

Теперь подставим значение $m = 256$ :

256^{1/4}

Четвертая степень из 256 равна 4, так как $4^4 = 256$ .

Таким образом, значение данного выражения равно 4.

Ответ: 4.