Задача. Найдите значение выражения \displaystyle \frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{m} \cdot \sqrt[20]{m}} при m=256.
Решение
Дано выражение
\displaystyle \frac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{m} \cdot \sqrt[20]{m}}Преобразуем корни в степени:
\displaystyle \sqrt{m} = m^{1/2}, \\[5mm] \sqrt[5]{m} = m^{1/5}, \\[5mm] \sqrt[20]{m} = m^{1/20}.Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
\displaystyle \frac{m^{1/2}}{m^{1/5} \cdot m^{1/20}}Для упрощения выражения используем свойство степеней \displaystyle \frac{1}{a^b} = a^{-b}:
\displaystyle m^{1/2} \cdot m^{-1/5} \cdot m^{-1/20}Теперь сложим показатели степеней:
\displaystyle m^{1/2 - 1/5 - 1/20}Приведем дроби к общему знаменателю:
\displaystyle m^{10/20 - 4/20 - 1/20} \\ m^{5/20} \\ m^{1/4}Теперь подставим значение m = 256:
256^{1/4}Четвертая степень из 256 равна 4, так как 4^4 = 256.
Таким образом, значение данного выражения равно 4.
Ответ: 4.