Задача. Прямая y = 9x + 6 является касательной к графику функции y = ax^2 - 19x + 13. Найдите a.
Решение
Так как касательная касается графика функции только в одной точке, то это означает, что дискриминант квадратного уравнения, полученного из равенства функции и уравнения касательной, должен быть равен нулю. Тогда мы и получим одно решение.
Равенство касательной и функции имеет вид:
ax^2 - 19x + 13 = 9x + 6.Перенесем все в левую часть и упростим, получим:
ax^2 - 28x + 7 = 0Найдем дискриминант:
D = (-28)^2 - 4 \cdot a \cdot 7.Дискриминант должен быть равен нулю, так как прямая касается параболы:
0 = 784 - 28a.Теперь решим это уравнение относительно a:
28a = 784, \\ a = 784 / 28, \\ a = 28.Ответ: 28.