Прямая y = 9x + 6 является касательной к графику функции y = ax^2 — 19x + 13. Найдите a.

Прямая y = 9x + 6 является касательной к графику функции y = ax^2 - 19x + 13. Найдите a. ЕГЭ

Задача. Прямая y = 9x + 6 является касательной к графику функции y = ax^2 - 19x + 13. Найдите a.

Решение

Так как касательная касается графика функции только в одной точке, то это означает, что дискриминант квадратного уравнения, полученного из равенства функции и уравнения касательной, должен быть равен нулю. Тогда мы и получим одно решение.

Равенство касательной и функции имеет вид:

ax^2 - 19x + 13 = 9x + 6.

Перенесем все в левую часть и упростим, получим:

ax^2 - 28x + 7 = 0

Найдем дискриминант:

D = (-28)^2 - 4 \cdot a \cdot 7.

Дискриминант должен быть равен нулю, так как прямая касается параболы:

0 = 784 - 28a.

Теперь решим это уравнение относительно a:

 28a = 784, \\ a = 784 / 28, \\ a = 28. 

Ответ: 28.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ