Задача. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 6\sqrt{2}. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S = 2\pi rh, где r— радиус основания, а h— высота. По условию задачи высота цилиндра равна радиусу основания, то есть h = r, и площадь боковой поверхности цилиндра равна 6\sqrt{2}.
Итак, у нас есть:
S_{цилиндра} = 2\pi r^2 = 6\sqrt{2}Теперь найдем радиус основания цилиндра из этого уравнения:
\displaystyle r^2 = \frac{6\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{2}}{\pi} \\[5mm] r=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}}{\pi}}Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S = \pi rl, где l— образующая конуса. Образующую конуса можно найти из теоремы Пифагора, так как она образует гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором один катет — это высота конуса (или цилиндра, так как они равны), а другой катет — радиус основания. То есть:
l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{r^2 + r^2}= \sqrt{2r^2}= r\sqrt{2}Образующая l = r\sqrt{2}. Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности конуса:
S_{конуса} = \pi r l = \pi r (r\sqrt{2}) = \pi r^2 \sqrt{2} = \pi \left( \frac{3\sqrt{2}}{\pi} \right) \sqrt{2}= 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна 6 квадратных единиц.
Ответ: 6
