Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1 ОГЭ

Задача. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Решение

Начнем с построения чертежа, который поможет нам наглядно представить задачу.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26. Рисунок к задаче.
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26. Рисунок к задаче.

Представим себе трапецию ABCD с боковыми сторонами AB и CD, длины которых составляют 10 и 26 соответственно, а длина основания BC — всего 1. Для поиска площади трапеции, воспользуемся тем фактом, что биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.

Отметим точку K как середину AB и проведем линию из K параллельно основанию AD до пересечения с CD, эту точку пересечения обозначим как M.

Поскольку KM лежит на полпути между основаниями трапеции и параллельна им, это средняя линия трапеции, следовательно, отрезки CM и MD равны половине CD, то есть каждый из них равен 13.

Раз биссектриса угла ADC пересекает AB в середине, то угол ADM равен углу KDM, что делает треугольник KMD равнобедренным с основанием KD и равными сторонами KM и MD, значит KM тоже равен 13.

Так как KM — средняя линия трапеции, то она равна полусумме длин оснований AD и BC. Теперь мы можем вычислить длину AD:

AD = 2 \cdot KM - BC = 2 \cdot 13 - 1 = 26 - 1 = 25

Теперь нам нужно найти высоту трапеции для расчета площади. Продолжим сторону BC до пересечения с продолжением AD, обозначим эту точку как H.

Так как ABCH — параллелограмм (BC параллельно AH и AB параллельно CH), то AH будет равно BC и составит 1, а CH будет равно AB и составит 10.

Треугольник CHD — прямоугольный, так как стороны CH и AH пропорциональны сторонам Пифагоровой тройки 3, 4, 5 с коэффициентом 2 (тройка 6, 8, 10), где CH — это высота трапеции.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

\displaystyle S_{ABCD} = \frac{(AD + BC) \cdot CH}{2} = \frac{(25 + 1) \cdot 10}{2} = \frac{26 \cdot 10}{2} = 13 \cdot 10 = 130

Итак, площадь трапеции ABCD составляет 130 квадратных единиц.

Ответ: 130.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии