Задача. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение
Начнем с построения чертежа, который поможет нам наглядно представить задачу.

Представим себе трапецию ABCD с боковыми сторонами AB и CD, длины которых составляют 10 и 26 соответственно, а длина основания BC — всего 1. Для поиска площади трапеции, воспользуемся тем фактом, что биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.
Отметим точку K как середину AB и проведем линию из K параллельно основанию AD до пересечения с CD, эту точку пересечения обозначим как M.
Поскольку KM лежит на полпути между основаниями трапеции и параллельна им, это средняя линия трапеции, следовательно, отрезки CM и MD равны половине CD, то есть каждый из них равен 13.
Раз биссектриса угла ADC пересекает AB в середине, то угол ADM равен углу KDM, что делает треугольник KMD равнобедренным с основанием KD и равными сторонами KM и MD, значит KM тоже равен 13.
Так как KM — средняя линия трапеции, то она равна полусумме длин оснований AD и BC. Теперь мы можем вычислить длину AD:
AD = 2 \cdot KM - BC = 2 \cdot 13 - 1 = 26 - 1 = 25Теперь нам нужно найти высоту трапеции для расчета площади. Продолжим сторону BC до пересечения с продолжением AD, обозначим эту точку как H.
Так как ABCH — параллелограмм (BC параллельно AH и AB параллельно CH), то AH будет равно BC и составит 1, а CH будет равно AB и составит 10.
Треугольник CHD — прямоугольный, так как стороны CH и AH пропорциональны сторонам Пифагоровой тройки 3, 4, 5 с коэффициентом 2 (тройка 6, 8, 10), где CH — это высота трапеции.
Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:
\displaystyle S_{ABCD} = \frac{(AD + BC) \cdot CH}{2} = \frac{(25 + 1) \cdot 10}{2} = \frac{26 \cdot 10}{2} = 13 \cdot 10 = 130Итак, площадь трапеции ABCD составляет 130 квадратных единиц.
Ответ: 130.