Решите неравенство 81-18x+x^2 < √2(x - 9)

Задание. Решите неравенство 81-18x+x^2 < \sqrt{2}(x - 9).

Решение

Прежде всего, преобразуем выражение слева от неравенства в полный квадрат. Выражение 81-18x+x^2 можно переписать как (x-9)^2, исходя из формулы квадрата разности. Таким образом, неравенство принимает вид:

(x - 9)^2 - \sqrt{2}(x - 9) < 0

Теперь вынесем x-9 за скобку:

(x - 9)((x - 9) - \sqrt{2}) < 0

Продолжим решение, применяя метод интервалов.

Найдём нули функции, приравняв к нулю каждый из множителей:

x-9=0 или (x-9)-\sqrt{2}=0

Решениями будут:

x_1 = 9 и x_2 = 9 + \sqrt{2}

Отметим данные точки на числовой прямой с учетом того, что неравенство строгое:

Рассмотрим знаки произведения на интервалах между найденными точками. Подстановкой значений x из каждого интервала в выражение (x - 9)((x - 9) - \sqrt{2})устанавливаем, что на интервале от 9 до 9 + \sqrt{2} произведение принимает отрицательные значения.

Следовательно, решением неравенства является интервал:

x \in (9, 9 + \sqrt{2})

Именно на этом промежутке неравенство удовлетворяется.

Ответ: x \in (9, 9 + \sqrt{2}).