Найдите значение выражения \displaystyle 625^{\log_5 3}.
Решение
Дано выражение \displaystyle 625^{\log_5 3}. Чтобы найти его значение, сначала нам нужно разобраться с основами логарифмов и экспонент.
Логарифм \log_5 3 это показатель степени, в который нужно возвести основание логарифма, в данном случае 5, чтобы получить число под логарифмом, то есть 3.
625 это число, которое также является степенью 5, так как 5^4 = 625.
Теперь мы можем переписать наше выражение, используя полученное равенство:
\displaystyle 625^{\log_5 3} = (5^4)^{\log_5 3}Когда степень возводится в степень, мы можем умножить эти показатели степени. Это правило \displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}. Применяем его:
\displaystyle (5^4)^{\log_5 3} = 5^{4 \cdot \log_5 3}Число перед логарифмом можно внести в логарифм по формуле:
\displaystyle m \log_a b=\log_a b^mТеперь важно понять, что a^{\log_a b} = b. Это основное свойство логарифмов. Используем его для упрощения выражения:
\displaystyle 5^{4 \cdot \log_5 3} = 5^{\log_5 (3^4)}Поскольку основание степени и основание логарифма одинаковы, они сокращают друг друга, оставляя нам только 3^4.
Теперь просто вычисляем 3^4:
3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81Итак, \displaystyle 625^{\log_5 3} = 81.
Ответ: 81.